《2025年名校课堂七年级数学上册人教版陕西专版》

【例】已知$a$，$b$，$c$在数轴上的对应点的位置如图所示，且$\vert a\vert=\vert c\vert$.
(1) 填空：$a + b$＜$0$；$c + a$=$0$；$c - b$＞$0$.
(2) 化简：$\vert a - b\vert+\vert b + c\vert-\vert c + a\vert-\vert a - c\vert$.
]

答案：
(1)＜ = ＞
(2)由数轴及题意，得a-b＞0,b+c＜0,c+a=0,a-c＞0.
∴原式=a-b+[-(b+c)]-0-(a-c)=a-b-b-c-0-a+c=-2b.

1. 有理数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$\vert a + b\vert+a$的结果是______.

答案： -b

2. 已知数$a$，$b$，$c$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$\vert a\vert+\vert a + b\vert-\vert c\vert$的结果是c-b.
]

答案： c-b

3. 已知数$a$，$b$，$c$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$\vert a + c\vert-\vert a - 2b\vert-\vert c - 2b\vert$的结果是(B)


A.$0$
B.$4b$
C.$-2a - 2c$
D.$2a - 4b$

答案： B

4. 已知$a ＞ b ＞ 0$.
(1) 在数轴上画出$a$，$b$，$-a$，$-b$的对应点的大致位置.
(2) 化简：$\vert -a\vert-2\vert a - b\vert+\vert a + b\vert$.
]

答案：
(1)图略.
(2)
∵a＞b＞0,
∴a-b＞0,a+b＞0.
∴原式=a-2(a-b)+(a+b)=a-2a+2b+a+b=3b.

【例】阅读材料：
我们知道，$4x - 2x + x=(4 - 2 + 1)x = 3x$. 类似地，我们把$a + b$看成一个整体，则$4(a + b)-2(a + b)+(a + b)=(4 - 2 + 1)(a + b)=3(a + b)$. “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用：
(1) 若把$(a - b)^{2}$看成一个整体，则合并$3(a - b)^{2}-6(a - b)^{2}+2(a - b)^{2}$的结果是-(a-b)².
(2) 若$x^{2}-2y = 5$，求$3x^{2}-6y - 23$的值.
(3) 若$a - 2b = 3$，$2b - c = -4$，$c - d = 10$，求$(a - c)+(2b - d)-(2b - c)$的值.

答案：
(1)-(a-b)²
(2)
∵x²-2y=5，
∴原式=3(x²-2y)-23=3×5-23=15-23=-8.
(3)原式=a-c÷2b-d-2b+c=a-2b+2b-c+c-d.
∵a-2b=3,2b-c=-4,c-d=10，
∴原式=3-4+10=9.

在整式求值中，当单个字母的值不易求出或化简后的结果与已知值的式子相关联时，需要将已知式子的值整体代入计算.

答案： 答题卡：
题目：已知$m^2 - 2m = 1$，求$2024 + 3m - \frac{3}{2}m^2$的值。
解答：
$2024 + 3m - \frac{3}{2}m^2$
$= 2024 - \frac{3}{2}(m^2 - 2m)$
$= 2024 - \frac{3}{2} × 1$
$= 2024 - 1.5$
$= 2022.5$
所以，$2024 + 3m - \frac{3}{2}m^2$的值为$2022.5$。

1. 已知$a^{2}+5a = 1$，则代数式$2a^{2}+10a - 1$的值为1.

答案： 1

2. (2023·商洛商南县期末)已知$x^{2}+3x = 1$，则多项式$3x^{2}+9x - 1$的值是2.

答案： 2

3. 已知$m - n = 19$，$p + q = 22$，则$(n + p)-(m - q)=$3.

答案： 3

4. (2023·泰州)若$2a - b + 3 = 0$，则$2(2a + b)-4b$的值为-6.

答案： -6