《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

1. 若 $ abc \neq 0 $,且 $ \frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} $,求 $ \frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc} $.

答案： 设 $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} = k$。
分两种情况考虑：
当 $a + b + c \neq 0$ 时，
根据等比性质，$k = \frac{2(a + b + c)}{a + b + c}= 2$。
即$\frac{a + b}{c} = 2$，同理 $\frac{b + c}{a} = 2$，$\frac{c + a}{b} = 2$。
所以 $a + b = 2c$，$b + c = 2a$，$c + a = 2b$。
则 $\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc} =\frac{2c\cdot 2a\cdot 2b}{abc}= 8$。
当 $a + b + c = 0$ 时，
$a + b = -c$，$b + c = -a$，$c + a = -b$。
则 $\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc} =\frac{(-c)\cdot (-a)\cdot (-b)}{abc}= -1$。
综上，$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$ 的值为 $8$ 或 $-1$。

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ AC = 8 cm $, $ BC = 6 cm $,点 $ P $ 从点 $ A $ 沿 $ AC $ 向 $ C $ 以 $ 2 cm/s $ 的速度移动,到点 $ C $ 就停,点 $ Q $ 从点 $ C $ 沿 $ CB $ 向 $ B $ 以 $ 1 cm/s $ 的速度移动,到点 $ B $ 就停.
(1) 若 $ P $, $ Q $ 同时出发,经过几秒 $ S_{\triangle PCQ} = 2 cm^2 $；
(2) 若点 $ Q $ 从点 $ C $ 出发 $ 2 s $ 后点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,再经过几秒 $ \triangle PCQ $ 与 $ \triangle ACB $ 相似.

答案：
(1) $ 2+\sqrt{2} $ 或 $ 2-\sqrt{2} $ 秒；
(2) $ \frac{8}{5} $ 或 $ \frac{26}{11} $ 秒。

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $, $ E $ 分别在边 $ AB $, $ AC $ 上, $ \angle AED = \angle B $, $ AG $ 分别交线段 $ DE $, $ BC $ 于点 $ F $, $ G $,且 $ AD : AC = DF : CG $.求证：
(1) $ AG $ 平分 $ \angle BAC $；
(2) $ EF \cdot CG = DF \cdot BG $.

答案：
(1)证明：
∵∠AED=∠B，∠EAD=∠BAC（公共角），
∴△AED∽△ABC（AA相似）。
∴∠ADE=∠ACB（相似三角形对应角相等）。
∵AD/AC=DF/CG（已知），∠ADF=∠ACG（即∠ADE=∠ACB），
∴△ADF∽△ACG（SAS相似）。
∴∠DAF=∠CAG（相似三角形对应角相等），即∠BAG=∠CAG。
∴AG平分∠BAC。
(2)证明：
∵△AED∽△ABC，
∴AE/AB=AD/AC=k（设比例系数为k）。
∵AG平分∠BAC，
∴∠EAF=∠BAG。
又∠AEF=∠ABG（
∵∠AED=∠B），
∴△AEF∽△ABG（AA相似）。
∴EF/BG=AE/AB=k。
∵AD/AC=DF/CG=k，
∴EF/BG=DF/CG。
∴EF·CG=DF·BG。

4. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,点 $ E $, $ F $ 分别在边 $ CB $, $ AD $ 的延长线上,且 $ BE = DF $, $ EF $ 分别与 $ AB $, $ CD $ 交于点 $ G $, $ H $.
(1) 求证： $ AG = CH $；
(2) 已知 $ EB : BC = 1 : 4 $,且 $ S_{\triangle BEG} = 2 $,求 $ □ ABCD $ 的面积.

答案：
(1) 见解析；
(2) 96