《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

7. 有三张卡片,它们背面完全相同,正面标有“$-1$,1,$-3$”三个数字中的一个,且不重复. 现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面的数字作为 $a$ 的值,放回后再从中随机抽取一张,以其正面的数字作为 $b$ 的值,则 $(a,b)$ 在第三象限的概率是4/9.

答案： 4/9

8. 一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球,上面分别标有数字 $\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,5.
(1)从口袋中随机摸出一个小球,求摸出小球上的数字是无理数的概率(直接写出结果)；
(2)先从口袋中随机摸出一个小球,将小球上的数字记为 $x$,把小球放回口袋中并搅匀,再从口袋中随机摸出一个小球,将小球上的数字记为 $y$. 请用列表或画树状图的方法求出 $x$ 与 $y$ 的乘积是有理数的概率.

答案：
(1)
口袋中一共有$3$个小球，其中标有无理数的小球为标有$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$的小球，共$2$个。
所以$P$（摸出小球上的数字是无理数）$=\frac{2}{3}$。
(2)
列表如下：
| $x\backslash y$ | $\sqrt{2}$ | $\sqrt{3}$ | $5$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $\sqrt{2}$ | $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ | $(\sqrt{2},\sqrt{3})$ | $( \sqrt{2},5)$ |
| $\sqrt{3}$ | $(\sqrt{3},\sqrt{2})$ | $(\sqrt{3},\sqrt{3})$ | $(\sqrt{3},5)$ |
| $5$ | $(5,\sqrt{2})$ | $(5,\sqrt{3})$ | $(5,5)$ |
一共有$9$种等可能结果，其中$x$与$y$的乘积是有理数的有$(\sqrt{2},\sqrt{2})$，$(\sqrt{3},\sqrt{3})$，$(5,5)$这$3$种。
所以$P$（$x$与$y$的乘积是有理数）$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。

1. 从 1,2,3,4 中任取两个不同的数,分别记为 $a$ 和 $b$,则 $a^{2}+b^{2}＞19$ 的概率是(D)
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{7}{12}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： D

2. 小李与小陈玩猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜,那么小李获胜的概率为 (A)
A.$\frac{13}{25}$
B.$\frac{12}{25}$
C.$\frac{4}{25}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： A

3. 甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为 1,2,3,4 的四个小球(除标号外无其他差异). 从口袋中随机摸出一个小球,记下标号后放回口袋中,充分摇匀后,再从口袋中随机摸出一个小球,记下该小球的标号,两次记下的标号分别用 $x$,$y$ 表示. 若 $x+y$ 为奇数,则甲获胜；若 $x+y$ 为偶数,则乙获胜.
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法,求 $(x,y)$ 所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？ 请说明理由.

答案：
(1)
列表法：
| $x$ $y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
$(x,y)$所有可能出现的结果总数为$16$种。
(2)
$x + y$为奇数的结果有：$(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)$，共$8$种。
$P(甲获胜)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
$x + y$为偶数的结果有：$(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)$，共$8$种。
$P(乙获胜)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
因为$P(甲获胜)=P(乙获胜)=\frac{1}{2}$，所以这个游戏对双方公平。

4. 在一次数学竞赛活动中,甲、乙两名同学得分相同,获并列第一名,于是每人可在准备好的 4 件奖品中获得其中一件,至于谁得什么奖品只好用抽签来决定,4 个纸签内分别写上了文具盒、计算器、篮球、足球 4 个奖品名称. 在看不到签中所写内容的公平情况下：
(1)第一名抽奖的同学抽中“计算器”的概率是多少？
(2)有同学认为,如果甲先抽,那么他抽到“足球”的概率会大些,你同意这种说法吗？ 用列表或画树状图的方法加以说明.

答案：
(1)
总共有$4$个纸签，每个纸签被抽中的可能性相同，其中写有“计算器”的纸签有$1$个。
根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$所包含的基本事件数），可得第一名抽奖的同学抽中“计算器”的概率$P = \frac{1}{4}$。
(2)
不同意这种说法。
画树状图：
把$4$个奖品分别记为$A$（文具盒）、$B$（计算器）、$C$（篮球）、$D$（足球）。
甲先抽，有$4$种等可能结果，甲抽完后，乙从剩下$3$个中抽，有$3$种结果。
树状图如下：
甲开始，分$4$个分支（$A$、$B$、$C$、$D$），以甲抽到$A$为例，乙从剩下$B$、$C$、$D$中抽，分$3$个分支，同理甲抽到$B$、$C$、$D$时，乙也各有$3$种抽法。
基本事件总数$n = 4×3 = 12$种。
甲抽到“足球”（$D$）的结果有$1×3 = 3$种（甲抽到$D$，乙抽到$A$、$B$、$C$这$3$种情况）。
根据古典概型概率公式，甲抽到“足球”的概率$P_1=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
所以，不论甲先抽还是乙先抽，他们抽到“足球”的概率都是$\frac{1}{4}$。
综上，
(1)第一名抽奖的同学抽中“计算器”的概率是$\frac{1}{4}$；
(2)不同意该说法，甲抽到“足球”的概率为$\frac{1}{4}$。