《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

5. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在AB$边上,若$BC= 3$,$BD= 2$,且$\angle BCD= \angle A$,则线段$AD$的长为(B)

A.2
B.$\dfrac{5}{2}$
C.3
D.$\dfrac{9}{2}$
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答案： B

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{ \circ }$,$BC= 8\ {m}$,$AB= 10\ {m}$,点$P从B$点出发,沿$BC方向以2\ {m/s}$的速度移动,点$Q从点C$出发,沿$CA方向以1\ {m/s}$的速度移动.若$P$,$Q同时分别从B$,$C$出发,则经过2.4$s$,$\triangle CPQ \backsim \triangle CBA$.
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答案： 2.4

7. 在$\triangle ABC$中,$P是AB$上的动点($P异于A$,$B$),过点$P的一条直线截\triangle ABC$,使截得的三角形与$\triangle ABC$相似,我们不妨称这种直线为过点$P的\triangle ABC$的相似线.如图,$\angle A= 36^{ \circ }$,$AB= AC$,当点$P在AC$的垂直平分线上时,过点$P的\triangle ABC$的相似线有3条.
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答案： 3

8. 如图,在$Rt \triangle ABC$中,$\angle C= 90^{ \circ }$,$P是BC边上不同于B$,$C$的一动点,过点$P作PQ \perp AB$,垂足为$Q$,连接$AP$.不论点$P在BC$边上何处时,都有$\triangle AQP$与$\triangle ACB$相似.
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答案： $\triangle AQP$，$\triangle ACB$

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC$,点$D$,$E$,$F分别是线段AC$,$BC$,$AD$的中点,$BF$,$ED的延长线交于点G$,连接$GC$.
(1)求证:$AB= GD$.
(2)当$CG= EG$时,求$\dfrac{AC}{AB}$的值.
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答案：
(1)见证明；
(2)√3。

1. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 3$,$BC= 10$,点$E在BC$边上,$DF \perp AE$,垂足为$F$.若$DF= 6$,则线段$EF$的长为(B)

A.2
B.3
C.4
D.5
]

答案： B

2. 如图所示,在等腰三角形$ABC$中,$AB= AC$,点$E$,$F在线段BC$上,点$Q在线段AB$上,且$CF= BE$,$AE^{2}= AQ\cdot AB$.求证:
(1)$\angle CAE= \angle BAF$;
(2)$CF\cdot FQ= AF\cdot BQ$.
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答案：
(1)
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等腰三角形两底角相等）。
∵CF=BE，点C,E,F,B在BC上，
∴CF=CE+EF，BE=BF+EF，
∴CE=BF。
在△AEB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC \\ ∠B=∠C \\ BE=CF\end{array}\right.$
∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴∠BAE=∠CAF。
∴∠BAE-∠EAF=∠CAF-∠EAF，即∠BAF=∠CAE，
∴∠CAE=∠BAF。
(2)
∵AE²=AQ·AB，
∴$\frac{AQ}{AE}=\frac{AE}{AB}$。
又∠QAE=∠BAE（公共角），
∴△AQE∽△AEB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴∠AQE=∠AEB。
∵∠AQE=∠BQF（对顶角相等），
∴∠AEB=∠BQF。
在△AEB和△BQF中，∠AEB=∠BQF，∠B=∠B，
∴∠BAE=∠BFQ。
由
(1)△AEB≌△AFC得∠BAE=∠CAF，
∴∠BFQ=∠CAF。
在△BFQ和△CAF中，∠B=∠C，∠BFQ=∠CAF，
∴△BFQ∽△CAF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{BQ}{CF}=\frac{FQ}{AF}$，
∴CF·FQ=AF·BQ。