《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

6. 如图,$AB与CD相交于点O$,$OA = 3$,$OB = 5$,$OD = 6$.当$OC = $18/5或5/2时,图中的两个三角形相似.

答案： 18/5或5/2

7. 如图所示,$BD平分\angle ABC$,且$AB = 4$,$BC = 6$,则当$BD = $$2\sqrt{6}$时,$\triangle ABD\backsim\triangle DBC$.

答案： $2\sqrt{6}$

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AF\perp BC$,$CE\perp AB$,垂足分别是点$F$,$E$.求证：
(1)$\triangle BAF\backsim\triangle BCE$；
(2)$\triangle BEF\backsim\triangle BCA$.

答案： （1）
∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB=∠CEB=90°．
在△BAF和△BCE中，
∠B=∠B（公共角），∠AFB=∠CEB=90°，
∴△BAF∽△BCE（两角分别相等的两个三角形相似）．
（2）由（1）知△BAF∽△BCE，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BF}{BE}$（相似三角形对应边成比例），
即$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BA}$．
在△BEF和△BCA中，
∠B=∠B（公共角），$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BA}$，
∴△BEF∽△BCA（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 4\ cm$,$BC = 3\ cm$.动点$M从点C$出发,以$1\ cm/s的速度沿CA向终点A$移动,同时动点$P从点B$出发,以$2\ cm/s的速度沿BA向终点A$移动,连接$PM$,设移动时间为$t\ s$.当$t(0\lt t\lt2.5)$为何值时,以点$A$,$P$,$M为顶点的三角形与\triangle ABC$相似？

答案： $t=1.5$

如图,在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,$D$,$D'分别是AB$,$A'B'$上一点,$\frac{AD}{AB}= \frac{A'D'}{A'B'}$.

(1)当$\frac{CD}{C'D'}= \frac{AC}{A'C'}= \frac{AB}{A'B'}$时,求证：$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.

(2)当$\frac{CD}{C'D'}= \frac{AC}{A'C'}= \frac{BC}{B'C'}$时,判断$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$是否相似,并说明理由.

答案：
(1) $\frac{AD}{A'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{CD}{C'D'}$；$\angle A = \angle A'$
(2) 不相似。理由：设$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}=k$，仅由$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$及$D$、$D'$位置关系，无法得出$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$对应角相等或三边对应成比例，可构造反例（如一个为锐角三角形，一个为钝角三角形）说明不相似，故$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$不相似。