《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

5. 某种电脑病毒传播得非常快, 如果一台电脑被感染, 经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染. 请用一元二次方程的知识分析, 每轮感染中平均一台被感染的电脑会感染几台电脑? 若病毒得不到有效控制, 那么经过三轮感染后, 被感染的电脑共有多少台?

答案： 设每轮感染中平均一台被感染的电脑会感染$x$台电脑。
第一轮感染：原始1台电脑感染$x$台，共$1 + x$台被感染。
第二轮感染：$1 + x$台电脑每台感染$x$台，新增$x(1 + x)$台，共$1 + x + x(1 + x)$台被感染。
根据题意，两轮感染后共有81台电脑被感染，即：
$1 + x + x(1 + x) = 81$，
整理得：
$(1 + x)^{2} = 81$，
解得：
$x_{1} = 8$，$x_{2} = -10$（舍去，因为电脑数量不能为负）。
所以每轮感染中平均一台被感染的电脑会感染8台电脑。
第三轮感染：$81 × (1 + 8) = 81 × 9 = 729(台)$（包括前两轮已经感染的81台电脑在内的总数，但题目问的是三轮感染后的总数，所以直接计算即可）。
或者用模型：$(1+x)^3=(1+8)^3=729$。
所以，每轮感染中平均一台被感染的电脑会感染8台电脑，经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台。

6. 某快递公司, 今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 4 万件和 4.84 万件. 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1) 求该快递公司投递总件数的月平均增长率;
(2) 如果平均每人每月最多可投递快递 0.4 万件, 该公司现有 10 名快递投递业务员, 那么能否完成今年六月份的快递投递任务? 如果不能, 请问至少需要增加几名快递投递业务员?

答案：
(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为$x$。
由题意得：$4(1+x)^2 = 4.84$
两边同除以4：$(1+x)^2 = 1.21$
开平方：$1+x = \pm1.1$（负值舍去）
解得：$x = 0.1 = 10\%$
(2)六月份投递任务：$4.84×(1+10\%) = 5.324$（万件）
现有10名业务员可投递：$10×0.4 = 4$（万件）
$\because 4 ＜ 5.324$，故不能完成任务。
设需增加$y$名业务员，$(10+y)×0.4 \geq 5.324$
解得：$10+y \geq 13.31$，$y$取最小整数4。
(1)10%；
(2)不能，至少增加4名。

7. 某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果, 计划以每千克 60 元的价格销售, 为了让顾客得到实惠, 现决定降价销售. 已知这种干果的销售量 $ y $ (千克) 与每千克降价 $ x $ (元) $ (0 ＜ x ＜ 20) $ 之间满足一次函数关系, 其图象如图所示:
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式;
(2) 该商贸公司要想获利 2090 元, 则这种干果每千克应降价多少元?

答案：
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = kx + b $。
由图象可知，函数经过点 $ (2, 120) $ 和 $ (4, 140) $，代入得：
$\begin{cases} 120 = 2k + b \\ 140 = 4k + b \end{cases}$
解得 $ k = 10 $，$ b = 100 $。
故 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = 10x + 100 $。
(2) 每千克利润为 $ (60 - x - 40) = (20 - x) $ 元，销售量为 $ y = 10x + 100 $ 千克。
总利润 $ = (20 - x)(10x + 100) $，令其等于 2090：
$(20 - x)(10x + 100) = 2090$
整理得：$ -10x^2 + 100x + 2000 = 2090 $，即 $ x^2 - 10x + 9 = 0 $。
解得 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 9 $。
因要让顾客得到实惠，取 $ x = 9 $。
答：这种干果每千克应降价 9 元。