《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

10. 已知线段$a$,$b$,$c$,且$\frac{a}{2}= \frac{b}{3}= \frac{c}{4}$。
(1)求$\frac{a + b}{b}$的值；
(2)如线段$a$,$b$,$c满足a + b + c = 27$,求$a - b + c$的值。

答案：
(1) 设 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$，
则 $a = 2k$，$b = 3k$。
所以$\frac{a + b}{b} = \frac{2k + 3k}{3k} = \frac{5k}{3k} = \frac{5}{3}$。
(2) 同样设 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$，
则 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$。
由 $a + b + c = 27$，
得 $2k + 3k + 4k = 27$，
解得$9k = 27$，
$k = 3$。
所以$a - b + c = 2k - 3k + 4k = 3k = 3 × 3 = 9$。

1. 已知$a$,$b$,$c$均为非零的实数,且满足$\frac{a + b - c}{c}= \frac{a - b + c}{b}= \frac{-a + b + c}{a}$,求$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$的值。

答案： $8$或$-1$

2. 数学来源于生活,因此,数学中的许多定理都可以用生活中的常识来解释。请你利用一个生活常识来解释：若$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}=… =\frac{e}{f}= \frac{m}{n}$,则$\frac{a + c + … + e}{b + d + … + f}= \frac{a}{b}$。

答案： 假设几杯糖水浓度相同，设第一杯糖为$a$克，糖水为$b$克，浓度为$\frac{a}{b}$；第二杯糖为$c$克，糖水为$d$克，浓度为$\frac{c}{d}$；...；第$n$杯糖为$e$克，糖水为$f$克，浓度为$\frac{e}{f}$。因浓度相等，设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{e}{f}=k$（$k$为浓度）。混合后总糖为$a + c + \dots + e$克，总糖水为$b + d + \dots + f$克，混合后浓度仍为$k$，故$\frac{a + c + \dots + e}{b + d + \dots + f}=k=\frac{a}{b}$。