《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

10. 解方程：
(1)$(2x + 1)^{2}= -6x - 3$；
(2)$(2x + 1)^{2}+3(2x + 1)+2 = 0$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}(2x + 1)^{2}&= -6x - 3\\(2x + 1)^{2}+ 6x + 3&=0\\(2x + 1)^{2}+3(2x + 1)&=0\\(2x + 1)[(2x + 1) + 3]&=0\\(2x + 1)(2x + 4)&=0\end{aligned}$
则$2x + 1 = 0$或$2x + 4 = 0$。
当$2x + 1 = 0$时，$x_1 = -\frac{1}{2}$；
当$2x + 4 = 0$时，$x_2 = -2$。
(2)
设$t = 2x + 1$，则原方程可化为$t^{2}+3t + 2 = 0$。
因式分解得$(t + 1)(t + 2)=0$。
则$t + 1 = 0$或$t + 2 = 0$。
当$t + 1 = 0$时，$t=-1$，即$2x + 1 = -1$，解得$x_1 = -1$；
当$t + 2 = 0$时，$t = -2$，即$2x + 1 = -2$，解得$x_2 = -\frac{3}{2}$。

11. 当 $x$ 为何值时,代数式 $2(x^{2}+3)$ 的值与 $3(1 - x^{2})$ 的值互为相反数？

答案： 根据题意，列方程：
$2(x^{2} + 3) + 3(1 - x^{2}) = 0$，
去括号：
$2x^{2} + 6 + 3 - 3x^{2} = 0$，
合并同类项：
$-x^{2} + 9 = 0$，
移项：
$x^{2} = 9$，
因式分解：
$(x+3)(x-3)=0$，
解得：
$x_{1} = 3$，$x_{2} = -3$。
所以当 $x = \pm 3$ 时，代数式 $2(x^{2} + 3)$ 的值与 $3(1 - x^{2})$ 的值互为相反数。

12. 阅读材料：
为解方程 $(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0$,我们可以将 $x^{2}-1$ 视为一个整体,然后设 $x^{2}-1 = y$,则 $(x^{2}-1)^{2}= y^{2}$,原方程化为 $y^{2}-5y + 4 = 0$,解得 $y_{1}= 1$,$y_{2}= 4$。
当 $y = 1$ 时,$x^{2}-1 = 1$,
$\therefore x^{2}= 2$,$\therefore x = \pm\sqrt{2}$；
当 $y = 4$ 时,$x^{2}-1 = 4$,
$\therefore x^{2}= 5$,$\therefore x = \pm\sqrt{5}$。
$\therefore$ 原方程的解为 $x_{1}= \sqrt{2}$,$x_{2}= -\sqrt{2}$,$x_{3}= \sqrt{5}$,$x_{4}= -\sqrt{5}$。
请利用以上知识解决下列问题：
若 $(m^{2}+n^{2}-1)(m^{2}+n^{2}+2)= 4$,求 $m^{2}+n^{2}$ 的值。

答案： $2$

1. 由多项式乘法：$(x + a)(x + b)= x^{2}+(a + b)x + ab$,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^{2}+(a + b)x + ab= (x + a)(x + b)$。示例：因式分解 $x^{2}+5x + 6= x^{2}+(2 + 3)x + 2×3= (x + 2)(x + 3)$。
(1)尝试：因式分解 $x^{2}+6x + 8= (x +$2$)\cdot(x +$______4$)$；
(2)应用：请用上述方法解方程：$x^{2}-3x - 4 = 0$。

答案：
(1)
因式分解$x^{2}+6x + 8$，因为$8=2×4$，$2 + 4=6$，所以$x^{2}+6x + 8=x^{2}+(2 + 4)x+2×4=(x + 2)(x + 4)$。
故答案为$2$，$4$。
(2)
对于方程$x^{2}-3x - 4 = 0$，
因为$-4=-4×1$，$-4 + 1=-3$，
所以$x^{2}-3x - 4=(x - 4)(x+1)$，
原方程可化为$(x - 4)(x + 1)=0$，
则$x - 4=0$或$x + 1=0$，
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$。

2. 定义新运算：对于两个不相等的实数 $a$,$b$,我们规定符号 $\operatorname{Max}\{a,b\}$ 表示 $a$,$b$ 中的较大数,如 $\operatorname{Max}\{2,4\}= 4$。
(1)填空：$\operatorname{Max}\{-2,-4\}=$-2；
(2)按照这个运算,解方程：$\operatorname{Max}\{x,-x\}= \frac{x^{2}-3x - 2}{2}$。
方程的解为$x=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$或$x=-1$

答案：
(1)
根据定义，比较$-2$和$-4$的大小，因为$-2 ＞ -4$，所以$\operatorname{Max}\{-2,-4\}=-2$。
(2)
当$x\gt -x$，即$x ＞ 0$时，$\operatorname{Max}\{x,-x\}=x$，则原方程可化为：
$x=\frac{x^{2}-3x - 2}{2}$
$2x=x^{2}-3x - 2$
$x^{2}-5x - 2 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}-5x - 2 = 0$中，$a = 1$，$b=-5$，$c = - 2$，代入求根公式可得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^{2}-4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{25 + 8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}$
因为$x＞0$，所以取$x=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$。
当$x\lt -x$，即$x ＜ 0$时，$\operatorname{Max}\{x,-x\}=-x$，则原方程可化为：
$-x=\frac{x^{2}-3x - 2}{2}$
$-2x=x^{2}-3x - 2$
$x^{2}-x - 2 = 0$
因式分解得$(x - 2)(x+1)=0$
则$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x = 2$或$x=-1$。
因为$x ＜ 0$，所以舍去$x = 2$，取$x=-1$。
综上，方程的解为$x=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$或$x=-1$。