《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

9. 如图, $ AE // BF $, $ BD $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AE $ 于点 $ D $, 点 $ C $ 在 $ BF $ 上且 $ BC = AB $, 连接 $ CD $. 求证: 四边形 $ ABCD $ 是菱形.

答案： 证明：
∵AE//BF，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC。
∴∠ABD=∠ADB（等量代换）。
∴AB=AD（等角对等边）。
∵BC=AB，
∴AD=BC（等量代换）。
∵AE//BF，即AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。

10. 如图, 过 $ □ ABCD $ 对角线 $ AC $ 与 $ BD $ 的交点 $ E $ 作两条互相垂直的直线, 分别交边 $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ 于点 $ P $, $ M $, $ Q $, $ N $.
(1) 求证: $ \triangle PBE \cong \triangle QDE $;
(2) 顺次连接点 $ P $, $ M $, $ Q $, $ N $, 求证: 四边形 $ PMQN $ 是菱形.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线互相平分，
∴BE=DE。
∵AB//CD，
∴∠PBE=∠QDE（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠PEB=∠QED（对顶角相等），
在△PBE和△QDE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠PBE=∠QDE \\ BE=DE \\ ∠PEB=∠QED\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△QDE（ASA）。
(2) 由
(1)知△PBE≌△QDE，
∴PE=QE。
同理，
∵AD//BC，
∴∠NDE=∠MBE（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠NED=∠MEB（对顶角相等），BE=DE，
∴△NDE≌△MBE（ASA），
∴NE=ME。
∴PQ与MN互相平分，
∴四边形PMQN是平行四边形。
∵两条直线互相垂直，即PQ⊥MN，
∴平行四边形PMQN是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

1. 如图, 在菱形 $ ABCD $ 中, 对角线 $ AC = 6 $, $ BD = 8 $, 点 $ E $, $ F $ 分别是 $ AB $, $ BC $ 的中点. 点 $ P $ 在 $ AC $ 上运动, 在运动过程中, $ PE + PF $ 存在最小值, 则这个最小值是 (C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C

2. 如图所示, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AC \perp BD $ 于点 $ O $, $ AO = CO = 4 $, $ BO = DO = 3 $, 点 $ P $ 为线段 $ AC $ 上的一个动点. 过点 $ P $ 分别作 $ PM \perp AD $ 于点 $ M $, 作 $ PN \perp DC $ 于点 $ N $. 连接 $ PB $, 在点 $ P $ 运动过程中, $ PM + PN + PB $ 的最小值等于39/5.

答案： 39/5