《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

4. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $4\mathrm{cm}$,则图中阴影部分的面积为8$\mathrm{cm}^2$.

答案： 8

5. 如图,四边形 $ABCD$,$AEFG$ 都是正方形,点 $E$,$G$ 分别在 $AB$,$AD$ 上,连接 $FC$,过点 $E$ 作 $EH// FC$,交 $BC$ 于点 $H$.若 $AB = 4$,$AE = 1$,则 $BH = $3.

答案： 3

6. 如图,点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 内位于对角线 $AC$ 下方的一点,$\angle 1 = \angle 2$,则 $\angle BPC$ 的度数为135$^{\circ}$.

答案： 135

7. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = BC$,对角线 $BD$ 平分 $\angle ABC$,$P$ 是 $BD$ 上一点,过点 $P$ 作 $PM\perp AD$,$PN\perp CD$,垂足分别为 $M$,$N$.
(1) 求证:$\angle ADB = \angle CDB$;
(2) 若 $\angle ADC = 90^{\circ}$,求证:四边形 $MPND$ 是正方形.

答案：
(1)
证明：
因为$BD$平分$\angle ABC$，
根据角平分线的定义，所以$\angle ABD = \angle CBD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，
$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABD = \angle CBD\\BD = BD\end{cases}$
由$SAS$（边角边）全等判定定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle CBD$。
所以$\angle ADB = \angle CDB$。
(2)
证明：
因为$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，
所以$\anglePMD=\angle PND = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，
根据三个角为直角的四边形是矩形，所以四边形$MPND$是矩形。
由
(1)知$\angle ADB = \angle CDB$，
又因为$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PM = PN$。
一组邻边相等的矩形是正方形，所以四边形$MPND$是正方形。

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AD\perp BC$,$AN$ 为 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle CAM$ 的平分线,$CE\perp AN$.
(1) 求证:四边形 $ADCE$ 为矩形;
(2) 当 $AD$ 与 $BC$ 满足什么数量关系时,四边形 $ADCE$ 是正方形? 并给予证明.

答案：
(1)
因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，
所以$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
因为$AN$平分$\angle CAM$，
所以$\angle CAE = \frac{1}{2}\angle CAM$。
又因为$\angle BAC+\angle CAM = 180^{\circ}$，
所以$\angle CAD+\angle CAE=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle CAM)=90^{\circ}$。
因为$AD\perp BC$，$CE\perp AN$，
所以$\angle ADC = \angle CEA=90^{\circ}$。
在四边形$ADCE$中，$\angle ADC=\angle CEA = \angle DAE=90^{\circ}$，
根据有三个角是直角的四边形是矩形，所以四边形$ADCE$为矩形。
(2)
当$AD=\frac{1}{2}BC$时，四边形$ADCE$是正方形。
证明：
因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，
所以$BD = DC$。
若$AD=\frac{1}{2}BC$，则$AD = DC$。
由
(1)知四边形$ADCE$为矩形，
当$AD = DC$时，矩形$ADCE$的邻边相等，
根据邻边相等的矩形是正方形，所以四边形$ADCE$是正方形。

如图,在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,过点 $C$ 的直线 $MN// AB$,$D$ 为 $AB$ 边上一点,过点 $D$ 作 $DE\perp BC$,交直线 $MN$ 于点 $E$,垂足为 $F$,连接 $CD$,$BE$.
(1) 求证:$CE = AD$;
(2) 当 $D$ 为 $AB$ 的中点时,四边形 $BECD$ 是什么特殊四边形? 说明你的理由;
(3) 若 $D$ 为 $AB$ 的中点,则当 $\angle A = $$45^{\circ}$时,四边形 $BECD$ 是正方形.

(1)
$\because DE\perp BC$，
$\therefore \angle DFB = 90^{\circ}$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=\angle DFB$。
$\therefore AC// DE$。
又$\because MN// AB$，即$CE// AD$。
$\therefore$四边形$ADCE$是平行四边形。
$\therefore CE = AD$。
(2)
四边形$BECD$是菱形。
理由：
$\because D$为$AB$中点，
$\therefore AD = BD$。
由(1)知$CE = AD$，
$\therefore BD = CE$。
又$\because BD// CE$，
$\therefore$四边形$BECD$是平行四边形。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$D$为$AB$中点，
$\therefore CD = BD=\frac{1}{2}AB$。
$\therefore$四边形$BECD$是菱形。

答案：
(1)
$\because DE\perp BC$，
$\therefore \angle DFB = 90^{\circ}$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=\angle DFB$。
$\therefore AC// DE$。
又$\because MN// AB$，即$CE// AD$。
$\therefore$四边形$ADCE$是平行四边形。
$\therefore CE = AD$。
(2)
四边形$BECD$是菱形。
理由：
$\because D$为$AB$中点，
$\therefore AD = BD$。
由
(1)知$CE = AD$，
$\therefore BD = CE$。
又$\because BD// CE$，
$\therefore$四边形$BECD$是平行四边形。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$D$为$AB$中点，
$\therefore CD = BD=\frac{1}{2}AB$。
$\therefore$四边形$BECD$是菱形。
(3) $45^{\circ}$。