《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

10. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M,N,与边AD交于点E,垂足为点O.
(1)求证：$ \triangle AOM \cong \triangle CON $；
(2)若$ AB = 3 $,$ AD = 6 $,请直接写出AE的长为$\frac{15}{4}$.

答案：
(1)证明：
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，∠AOM=∠CON=90°（注：垂足为O，所以应为直角，之前想对顶角，实际垂直，∠AOM和∠CON都是直角，更准确）。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠OAM=∠OCN（两直线平行，内错角相等）。
在△AOM和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠OAM=∠OCN \\ AO=CO \\ ∠AOM=∠CON \end{array}\right.$，
∴△AOM≌△CON（ASA）。
(2) $\frac{15}{4}$
解析：设AE=x，
∵E在AC的垂直平分线上，
∴EA=EC=x。
∵AD=6，
∴DE=AD-AE=6-x。
在矩形ABCD中，∠D=90°，CD=AB=3。
在Rt△EDC中，由勾股定理得：$EC^2=DE^2+CD^2$，
即$x^2=(6-x)^2+3^2$，
解得$x=\frac{15}{4}$，
∴AE=$\frac{15}{4}$。

1. 如图,在$ Rt \triangle ABC $中,$ \angle BAC = 90° $,$ AB = 6 $,$ AC = 8 $,P是斜边BC上一动点,$ PE \perp AB $于点E,$ PF \perp AC $于点F,EF与AP相交于点O,则OF的最小值为(D)

A.4.8
B.1.2
C.3.6
D.2.4

答案： D

2. 如图,在矩形ABCD中,$ AB = 5 $,$ AD = 12 $,点P在对角线BD上,且$ BP = BA $,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为3√17.

答案： 3√17