《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

1. 若 $x_1$,$x_2$ 是一元二次方程 $x^2 + 3x - 2 = 0$ 的两个根,则 $x_1 + x_2$ 的值是(B)
A.3
B.$-3$
C.2
D.$-2$

答案： B

2. 利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积。
(1) $x^2 + 4x = 0$；
(2) $2x^2 - 3x = 5$；
(3) $2x^2 + 3 = 7x^2 + x$。

答案：
(1)
方程化为一般形式：$x^2 + 4x + 0 = 0$
$a=1$，$b=4$，$c=0$
两根之和：$-\frac{b}{a} = -4$
两根之积：$\frac{c}{a} = 0$
(2)
方程化为一般形式：$2x^2 - 3x - 5 = 0$
$a=2$，$b=-3$，$c=-5$
两根之和：$-\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$
两根之积：$\frac{c}{a} = -\frac{5}{2}$
(3)
方程化为一般形式：$-5x^2 - x + 3 = 0$（或$5x^2 + x - 3 = 0$）
$a=-5$，$b=-1$，$c=3$（或$a=5$，$b=1$，$c=-3$）
两根之和：$-\frac{b}{a} = -\frac{1}{5}$
两根之积：$\frac{c}{a} = -\frac{3}{5}$

3. $\alpha$,$\beta$ 是方程 $2x^2 - 2x - 3 = 0$ 的两根,则 $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ 的值为(B)
A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{7}{2}$
D.$\dfrac{3}{2}$

答案： B

4. 关于 $x$ 的方程 $x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - m = 0$ 有两个实数根 $\alpha$,$\beta$,且 $\alpha^2 + \beta^2 = 12$,那么 $m$ 的值为(A)
A.$-1$
B.$-4$
C.$-4$ 或 1
D.$-1$ 或 4

答案： A

5. 已知 $m$,$n(m eq n)$ 满足方程 $x^2 - 5x - 1 = 0$,则 $m^2 - mn + 5n = $(B)
A.$-23$
B.27
C.$-25$
D.25

答案： B

6. 设 $x_1$,$x_2$ 是方程 $2x^2 + 3x - 4 = 0$ 的两个实数根,则 $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ 的值为$\dfrac{3}{4}$。

答案： $\dfrac{3}{4}$

1. 一元二次方程 $x^2 - 3x + 1 = 0$ 的两个根为 $x_1$,$x_2$,则 $x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 - 2$ 的值是(D)
A.10
B.9
C.8
D.7

答案： D

2. 已知等腰三角形的三边长分别为 $a$,$b$,4,且 $a$,$b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 12x + m + 2 = 0$ 的两根,则 $m$ 的值是(A)
A.34
B.30
C.30 或 34
D.30 或 36

答案： A

3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有一个解为 $x = -1$,则另一个解为(C)
A.1
B.$-3$
C.3
D.4

答案： C

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - kx + k - 3 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_1$,$x_2$,且 $x_1^2 + x_2^2 = 5$,则 $k$ 的值是(D)
A.$-2$
B.2
C.$-1$
D.1

答案： D

5. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,两直角边 $AC$,$BC$ 的长恰是方程 $x^2 - 4x + 2 = 0$ 的两个不同的根,则 $Rt\triangle ABC$ 的斜边上的高线 $CD$ 的长为(A)

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： A