《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

4.如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°,AB= BC= 12cm,点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动,移动过程中始终保持DE//BC,DF//AC,则出发1或5s时,四边形DFCE的面积为$20cm^2.$

答案： 1或5

5.如图,有一块矩形硬纸板,长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为$200cm^2?$

答案： 设剪去正方形的边长为 $x$ cm。
根据题意，长方体盒子的：
长为 $30 - 2x$ cm，
宽为 $20 - 2x$ cm，
高为 $x$ cm。
长方体盒子的侧面积由两对相等的长面和宽面组成。
长面的面积为：$(30 - 2x) × x$，
两个长面的总面积为 $2 × (30 - 2x) × x$。
宽面的面积为：$(20 - 2x) × x$，
两个宽面的总面积为 $2 × (20 - 2x) × x$。
根据题意，侧面积总和为 $200$ cm^2，所以：
$2 × (30 - 2x) × x + 2 × (20 - 2x) × x = 200$
展开并整理得：
$60x - 4x^2 + 40x - 4x^2 = 200$
$-8x^2 + 100x - 200 = 0$
$8x^2 - 100x + 200 = 0$
$2x^2 - 25x + 50 = 0$
通过因式分解或使用求根公式，得到：
$x_{1} = \frac{5}{2} = 2.5$
$x_{2} = 10$（由于 $x = 10$ 会导致长和宽为0，不符合实际情况，所以舍去）
答：当剪去正方形的边长为 $2.5$ cm时，所得长方体盒子的侧面积为 $200$ cm^2。

1.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入,购买了33m的铁栅栏,准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).
(1)若要建的矩形养鸡场面积为$90m^2,$求养鸡场的长(AB)和宽(BC);
(2)该扶贫单位想要建一个$100m^2$的矩形养鸡场,这一想法能实现吗?请说明理由.

答案：
(1)设宽$BC=xm$，则长$AB=(33 - 3x)m$，
根据题意得$x(33 - 3x)=90$，
整理得$x^{2}-11x + 30 = 0$，
分解因式得$(x - 5)(x - 6)=0$，
解得$x _ { 1 } = 5$，$x _ { 2 } = 6$。
当$x = 5$时，$33-3x = 18＞15$，不合题意，舍去；
当$x = 6$时，$33 - 3x=15$。
答：养鸡场的长为$15m$，宽为$6m$。
(2)不能实现。
理由：设宽$BC = ym$，则长$AB=(33 - 3y)m$，
根据题意得$y(33 - 3y)=100$，
整理得$3y^{2}-33y + 100 = 0$，
$\Delta=(-33)^{2}-4×3×100 = 1089 - 1200=-111＜0$，方程无实数根，
所以该扶贫单位想建一个$100m^{2}$的矩形养鸡场这一想法不能实现。

2.如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 16cm,BC= 8cm,一动点P从点C出发沿着CB边以2cm/s的速度运动,另一动点Q从点A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,运动时间为t(s).
(1)若△PCQ的面积是△ABC面积的1/4,求t的值;
(2)△PCQ的面积能否与四边形ABPQ的面积相等?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

答案：
(1)在Rt△ABC中，S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×16×8=64(cm²)。
由题意，CP=2t，CQ=16-4t(0≤t≤4)。
S△PCQ=1/2×CP×CQ=1/2×2t×(16-4t)=t(16-4t)=16t-4t²。
令16t-4t²=64×1/4=16，整理得4t²-16t+16=0，即t²-4t+4=0，解得t=2。
t=2在0≤t≤4范围内，
∴t=2。
(2)若S△PCQ=S四边形ABPQ，则S△PCQ=1/2 S△ABC=32。
令16t-4t²=32，整理得4t²-16t+32=0，即t²-4t+8=0。
Δ=(-4)²-4×1×8=16-32=-16＜0，方程无实根，
∴不能。