《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

3. 在甲、乙两个不透明的口袋中,分别有4个和3个大小、材质完全相同的小球,其中甲口袋中的小球上分别标有数字0,1,2,3,乙口袋中的小球上分别标有数字1,2,3.先从甲口袋中随机摸出一个小球,记下数字为m,再从乙口袋中随机摸出一个小球,记下数字为n.
(1) 请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；
(2) 规定：若m,n都是方程$x^{2}-3x+2= 0$的解,则小明获胜；若m,n都不是方程$x^{2}-3x+2= 0$的解,则小宇获胜.问他们两人谁获胜的概率大?

答案：
(1) 列表如下：
| m\n | 1 | 2 | 3 |
|-----|---|---|---|
| 0 | (0,1) | (0,2) | (0,3) |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
所有可能结果为：(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)，共12种。
(2) 解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 2) = 0$，解得$x = 1$或$x = 2$，即方程的解为1,2。
小明获胜条件：$m,n$都是方程的解，即$m \in \{1,2\}$且$n \in \{1,2\}$。满足条件的结果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)，共4种。$P(小明) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$。
小宇获胜条件：$m,n$都不是方程的解，即$m \in \{0,3\}$且$n = 3$。满足条件的结果有(0,3),(3,3)，共2种。$P(小宇) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
因为$\frac{1}{3} ＞ \frac{1}{6}$，所以小明获胜的概率大。
答：小明获胜的概率大。

4. 在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个.小鲍做摸球试验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程.下图是“摸到白色球”的频率折线统计图.

(1) 当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.50(精确到0.01),估计盒子里白球有______15个,假如摸一次球,摸到白球的概率约为______0.50；
(2) 如果要使摸到白球的概率为$\frac{3}{4}$,需要往盒子里再放入多少个白球?

答案：
(1)
根据频率折线统计图，当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近$0.50$；
估计盒子里白球有$30×0.50 = 15$个；
假如摸一次球，摸到白球的概率约为$0.50$。
(2)
设再放入$x$个白球，由题意得$\frac{15 + x}{30 + x}=\frac{3}{4}$，
$4(15 + x)=3(30 + x)$，
$60+4x = 90+3x$，
$4x - 3x=90 - 60$，
解得$x = 30$。
答：
(1) $0.50$，$15$，$0.50$；
(2) 需要往盒子里再放入$30$个白球。

5. 某校为研究学生的课余爱好情况,采取抽样调查的方法,从运动、娱乐、阅读、上网四个方面调查了若干学生,并将调查的结果绘制成下图中两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1) 在这次研究中,一共调查了100名学生,若该校共有1500名学生,估计全校爱好运动的学生共有______600名；
(2) 补全条形统计图,并计算“阅读”部分的圆心角；
(3) 在全校学生中随机选出一名学生参加演讲比赛,用频率估计概率,求选出的恰好是爱好阅读的学生的概率.

答案： （1）
调查学生总数：从扇形统计图知爱好娱乐的学生占$20\%$，从条形统计图知爱好娱乐的学生有$20$人，所以总人数为$20÷20\% = 100$名。
爱好运动的学生数：$1500×40\% = 600$名。
（2）
爱好阅读的人数：总人数为$100$人，爱好运动$40$人，爱好娱乐$20$人，爱好上网$10$人，所以爱好阅读的人数为$100 - 40 - 20 - 10 = 30$人。
补全条形统计图（图略，在阅读对应位置画高度为$30$的直条）。
“阅读”部分的圆心角：$360^{\circ}×\frac{30}{100}=108^{\circ}$。
（3）
爱好阅读的学生的频率为$\frac{30}{100}=0.3$，用频率估计概率，选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为$0.3$。
故答案依次为：（1）$100$；$600$；（2）补全条形统计图（图略）；$108^{\circ}$；（3）$0.3$。