《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

4. 如图,球从 $ A $ 处射出,经球台边挡板 $ CD $ 反射到点 $ B $,已知 $ AC = 10\ cm $, $ BD = 15\ cm $, $ CD = 50\ cm $,则点 $ E $ 到点 $ C $ 的距离是 20 $ cm $。

答案： $20$

5. 一种测量小管口径的量具如图所示, $ AB $ 长为 $ 12\ cm $, $ AE $ 被分成 $ 60 $ 等份。若小管口径 $ DE $ 正好对着量具上 $ 40 $ 份处( $ DE // AB $),则小管口径 $ DE $ 的长是 8。

答案： 8

6. 如图,测得边 $ DF $ 离地面的高度为 $ 1.4\ m $,点 $ D $ 到 $ AB $ 的距离等于 $ 6\ m $。已知 $ DF = 30\ cm $, $ EF = 20\ cm $,那么树 $ AB $ 的高度等于 5.6 $ m $。

答案： 5.6

7. 如图, $ AB $ 表示一个窗户的高, $ AE $ 和 $ BD $ 表示射入室内的光线,窗户的下端到地面的距离 $ BC = 1.2\ m $。已知某一时刻 $ BC $ 在地面的影长 $ CD = 1.8\ m $, $ AC $ 在地面的影长 $ CE = 4.8\ m $,则窗户的高度 $ AB = $ 2 $ m $。

答案： 2

8. 为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为 $ 2\ m $ 的标杆；④高为 $ 1.5\ m $ 的测角仪。请根据你所设计的测量方案,回答下列问题：
(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是 ②④；(填序号)
(2)画出测量方案示意图；
(3)你需要测量示意图中哪些数据,并用 $ a $, $ b $, $ c $, $ \alpha $, $ \beta $ 等字母表示测得的数据；
(4)写出求树高的算式： $ AB = $ $\frac{a\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha - \tan\beta}+1.5$ $ m $。(用 $ a $, $ b $, $ c $, $ \alpha $, $ \beta $ 等字母表示)

答案： $(1)$ 选用测量工具
选用的测量工具是：②皮尺、④高为$1.5m$的测角仪。
$(2)$ 测量方案示意图
示意图为：在平地上选取一点$C$，用测角仪在点$C$处测得树顶$A$的仰角$\angle ADE=\alpha$，然后沿直线$BC$后退$m$米到点$F$，再测得树顶$A$的仰角$\angle AGE = \beta$（示意图略，可根据描述自行绘制简单图形，包含树$AB$、测角仪、测量点等元素）。
$(3)$ 测量数据
需要测量的数据：测角仪的高$CD = EF = 1.5m$，$CF = a$（即后退的距离），$\angle ADE=\alpha$，$\angle AGE=\beta$。
$(4)$ 求树高算式
设$DG = x$，在$Rt\triangle ADG$中，$\tan\alpha=\frac{AG}{DG}$，则$AG = DG\tan\alpha=x\tan\alpha$；
在$Rt\triangle AFG$中，$\tan\beta=\frac{AG}{FG}$，$FG=DG + DF=x + a$，则$AG=(x + a)\tan\beta$。
所以$x\tan\alpha=(x + a)\tan\beta$，
$x\tan\alpha=x\tan\beta+a\tan\beta$，
$x(\tan\alpha-\tan\beta)=a\tan\beta$，
解得$x = \frac{a\tan\beta}{\tan\alpha-\tan\beta}$。
那么$AB = AG+GB= x\tan\alpha + 1.5=\frac{a\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha-\tan\beta}+ 1.5$。
综上，答案依次为： $(1)$ $\boldsymbol{②④}$；$(4)$ $\boldsymbol{\frac{a\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha - \tan\beta}+1.5}$ 。

1. 如图,在一块斜边长 $ 30\ cm $ 的直角三角形木板( $ Rt \triangle ACB $)上截取一个正方形 $ CDEF $,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上,点 $ E $ 在斜边 $ AB $ 上,点 $ F $ 在边 $ AC $ 上。若 $ AF:AC = 1:3 $,则这块木板截取正方形 $ CDEF $ 后,剩余部分的面积为 (A)

A.$ 100\ cm^2 $
B.$ 150\ cm^2 $
C.$ 170\ cm^2 $
D.$ 200\ cm^2 $

答案： A

2. 如图①,长、宽均为 $ 3 $,高为 $ 8 $ 的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为 $ 6 $。绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图②是此时的示意图,求图②中水面的高度。

答案： 4