《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

5. 如图,在 $□ ABCD$ 中,点 $E$,$F$ 在直线 $AC$ 上(点 $E$ 在点 $F$ 的左侧),$BE // DF$。
(1) 求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形；
(2) 若 $AB \perp AC$,$AB = 4$,$BC = 2\sqrt{13}$,当四边形 $BEDF$ 为矩形时,求线段 $AE$ 的长。

答案：
(1) 见解析；
(2) 2。

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AD$ 是 $BC$ 边上的中线,$E$,$G$ 分别是 $AC$,$DC$ 的中点,$F$ 为 $DE$ 延长线上的点,$\angle FCA = \angle CEG$。
(1) 求证：$AD // CF$；
(2) 求证：四边形 $ADCF$ 是矩形。

答案：
(1) 证明：
∵E，G分别是AC，DC的中点，
∴EG是△ADC的中位线。
∴EG//AD。
∴∠CEG=∠CAD。
∵∠FCA=∠CEG，
∴∠FCA=∠CAD。
∴AD//CF。
(2) 证明：
∵AD//CF，
∴∠ADE=∠CFE。
∵E是AC中点，
∴AE=CE。在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠CFE，∠AED=∠CEF，AE=CE，
∴△ADE≌△CFE(AAS)。
∴AD=CF。
∵AD//CF且AD=CF，
∴四边形ADCF是平行四边形。
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC。
∴∠ADC=90°。
∴四边形ADCF是矩形。

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线,点 $O$ 为 $AB$ 的中点,连接 $DO$ 并延长到点 $E$,使 $OE = OD$,连接 $AE$,$BE$。
(1) 求证：四边形 $AEBD$ 是矩形；
(2) 当 $\triangle ABC$ 满足什么条件时,矩形 $AEBD$ 是正方形,并说明理由。

答案：
(1) 证明：
∵ 点O为AB中点，
∴ AO=BO。
∵ OE=OD，
∴ 四边形AEBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠ADB=90°。
∵ 四边形AEBD是平行四边形，且∠ADB=90°，
∴ 四边形AEBD是矩形。
(2) 当△ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°）时，矩形AEBD是正方形。
理由：
∵ ∠BAC=90°，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=45°，AD⊥BC。
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴ ∠BAD=∠ABD，
∴ AD=BD。
∵ 矩形AEBD中AD=BD，
∴ 矩形AEBD是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。

8. 如图,已知正方形 $ABCD$,$P$ 是对角线 $AC$ 上任意一点,$E$ 为 $AD$ 上的点,且 $\angle EPB = 90^{\circ}$,$PM \perp AD$,$PN \perp AB$。
求证：(1) 四边形 $PMAN$ 是正方形；
(2) $EM = BN$。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，即∠CAD=∠CAB=45°。
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形（三个角为直角的四边形是矩形）。
∵PM⊥AD，∠CAD=45°，
∴△PMA是等腰直角三角形，
∴PM=AM。
同理，PN⊥AB，△PNA是等腰直角三角形，
∴PN=AN。
∵矩形PMAN中PM=AN，PN=AM，
∴PM=PN，
∴四边形PMAN是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
(2)
∵四边形PMAN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，∠PME=∠PNB=90°。
∵∠EPB=90°，
∴∠MPN=∠EPB=90°。
∵∠MPN=∠MPE+∠EPN，∠EPB=∠EPN+∠NPB，
∴∠MPE=∠NPB。
在△PME和△PNB中，
$\begin{cases} ∠PME=∠PNB \\PM=PN \\∠MPE=∠NPB \end{cases}$
∴△PME≌△PNB（ASA），
∴EM=BN。