《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE // BC $,$ \angle ADE = \angle EFC $,$ AE : EC = 5 : 3 $,$ BF = 10 $,则 $ CF $ 的长为 (D)

A.16
B.8
C.4
D.6

答案： D

5. 如图,$ AB // GH // CD $,点 $ H $ 在 $ BC $ 上,$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ G $,$ AB = 2 $,$ CD = 3 $,则 $ GH $ 的长为 (B)

A.1
B.1.2
C.2
D.2.5

答案： B

6. 如图,$ AB // CD // EF $,$ AD = 4 $,$ BC = DF = 3 $,则 $ BE $ 的长为 ______.

$\frac{21}{4}$（或 $5.25$）

答案： $\frac{21}{4}$（或 $5.25$）

7. 如图,$ \triangle ABC $ 的两条中线 $ AD $ 和 $ BE $ 相交于点 $ G $,过点 $ E $ 作 $ EF // BC $ 交 $ AD $ 于点 $ F $,那么 $ \dfrac{FG}{AG} = $ 1/4.

答案： 1/4

8. 如图,已知 $ AD // BE // CF $,它们依次交直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 于点 $ A $,$ B $,$ C $ 和点 $ D $,$ E $,$ F $.如果 $ AB = 6 $,$ BC = 8 $,$ DF = 21 $,求 $ DE $ 的长.

答案：
∵$AD// BE// CF$，
根据平行线分线段成比例定理，有：
$\frac{DE}{EF} = \frac{AB}{BC}$
代入已知条件 $AB = 6$，$BC = 8$，得：
$\frac{DE}{EF} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
设 $DE = 3x$，则 $EF = 4x$。
由 $DF = DE + EF$，代入 $DF = 21$，得：
$3x + 4x = 21$
$7x = 21$
$x = 3$
所以，$DE = 3x = 3 × 3 = 9$。
故$DE$的长为$9$。

9. 如图,直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $,$ AB = 3 $,$ AD = 2 $,$ DE = 4 $,$ EF = 7.5 $.求 $ BC $,$ BE $ 的长.

答案： 1. 首先求$BC$的长：
因为$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，根据平行线分线段成比例定理，$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$。
已知$AB = 3$，$AD = 2$，$DE = 4$，将其代入$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$中，得到$\frac{3}{BC}=\frac{2}{4}$。
交叉相乘可得$2BC=3×4$，即$2BC = 12$，解得$BC = 6$。
2. 然后求$BE$的长：
同样因为$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，根据平行线分线段成比例定理，$\frac{BF}{BE}=\frac{AB}{BC}$。
$\frac {BF}{BE}=\frac 12，BF=\frac 12BE$
$∵BF+BE=EF=7.5$
$∴\frac 12BE+BE=7.5，解得BE=5$
综上，$BC$的长为$6$，$BE$的长为$5$。

1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 在 $ AC $ 边上,$ AD : DC = 1 : 2 $,$ O $ 是 $ BD $ 的中点,连接 $ AO $ 并延长交 $ BC $ 于点 $ E $,则 $ BE : EC = $ (B)

A.$ 1 : 2 $
B.$ 1 : 3 $
C.$ 1 : 4 $
D.$ 2 : 3 $

答案： B

2. 如图,已知 $ AC // FE // BD $,求证：$ \dfrac{AE}{AD} + \dfrac{BE}{BC} = 1 $.

答案： 证明：
∵AC//FE//BD，
∴由平行线分线段成比例定理，直线AB与AD被平行线AC、FE、BD所截，得$\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{ED}$；
直线AB与BC被平行线AC、FE、BD所截，得$\frac{AF}{FB}=\frac{CE}{EB}$。
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{CE}{EB}$，设$\frac{AE}{ED}=\frac{CE}{EB}=k$，则$AE=kED$，$CE=kEB$。
∵$AD=AE+ED=kED+ED=ED(k+1)$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{kED}{ED(k+1)}=\frac{k}{k+1}$。
∵$BC=BE+EC=BE+kEB=BE(k+1)$，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BE}{BE(k+1)}=\frac{1}{k+1}$。
∴$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k+1}=\frac{k+1}{k+1}=1$。
即$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$。

3. 如图,已知 $ F $ 是 $ □ ABCD $ 的边 $ CD $ 上一点,连接 $ BF $ 并延长交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $.求证：$ \dfrac{DE}{AE} = \dfrac{DF}{DC} $.

答案： 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$AB // CD$，$AB = DC$。
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle EFD = \angle EBA$，$\angle EDF = \angle EAB$（两直线平行，同位角相等）。
∴ $\triangle EDF \sim \triangle EAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\dfrac{DE}{AE} = \dfrac{DF}{AB}$（相似三角形对应边成比例）。
∵ $AB = DC$，
∴ $\dfrac{DE}{AE} = \dfrac{DF}{DC}$。
结论得证。