《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

1. 定义新运算:对于任意实数 $ m $, $ n $ 都有 $ m☆n = m^{2}n + n $, 等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如: $ (-3)☆2 = (-3)^{2}×2 + 2 = 20 $. 根据以上知识解决问题:若 $ 2☆a $ 的值小于 0.
(1) 求 $ a $ 的取值范围;
(2) 请判断方程 $ 2x^{2} - bx + a = 0 $ 的根的情况.

答案：
(1) 根据定义 $2☆a = 2^{2}a + a = 5a$，
由 $2☆a ＜ 0$，得 $5a ＜ 0$，
解得 $a ＜ 0$，
所以$a$的取值范围是$a ＜ 0$即$a \in (-\infty,0)$。
(2) 方程 $2x^{2} - bx + a = 0$ 的判别式为
$\Delta = (-b)^{2} - 4 × 2 × a = b^{2} - 8a$，
由
(1) 知 $a ＜ 0$，则 $-8a ＞ 0$，
因为 $b^{2} \geq 0$，所以 $b^{2} - 8a ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。

2. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + (2k + 1)x + k^{2} + 1 = 0 $.
(1) 若方程有两个相等的实数根 $ x_{1} $, $ x_{2} $, 求实数 $ k $ 的值;
(2) 若方程的两个实数根 $ x_{1} $, $ x_{2} $ 满足 $ x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} = 0 $, 求 $ k $ 的值.

答案：
(1)
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
对于方程 $x^{2} + (2k + 1)x + k^{2} + 1 = 0$，有：
$a = 1, b = 2k + 1, c = k^{2} + 1$，
要求方程有两个相等的实数根，即 $\Delta = 0$。
代入得：
$(2k + 1)^{2} - 4(k^{2} + 1) = 0$
$4k^{2} + 4k + 1 - 4k^{2} - 4 = 0$
$4k - 3 = 0$
$k = \frac{3}{4}$
(2)
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两根之和为 $-\frac{b}{a}$，两根之积为 $\frac{c}{a}$。
对于方程 $x^{2} + (2k + 1)x + k^{2} + 1 = 0$，有：
$x_{1} + x_{2} = - (2k + 1)$
$x_{1}x_{2} = k^{2} + 1$
根据题意，有：
$x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} = 0$
代入得：
$- (2k + 1) + k^{2} + 1 = 0$
$k^{2} - 2k = 0$
$k(k - 2) = 0$
$k_{1} = 0, k_{2} = 2$
由于方程有两个实数根，所以判别式 $\Delta \geq 0$，即：
$(2k + 1)^{2} - 4(k^{2} + 1) \geq 0$
解得：
$k \geq \frac{3}{4}$
因此，只有 $k = 2$ 满足条件。
故答案为：
(1) $k = \frac{3}{4}$；
(2) $k = 2$。

3. 我们已经学习了一元二次方程的四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法. 请选择合适的方法解下列方程.
(1) $ x^{2} - 3x + 1 = 0 $;
(2) $ (x - 1)^{2} = 3 $;
(3) $ x^{2} - 3x = 0 $;
(4) $ x^{2} - 2x = 4 $.

答案：
(1)
方程$x^{2} - 3x + 1 = 0$，
这里$a = 1$，$b = - 3$，$c = 1$，
$\Delta=(-3)^{2}-4×1×1 = 5$，
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
(2)
方程$(x - 1)^{2} = 3$，
直接开平方得$x - 1=\pm\sqrt{3}$，
则$x_{1}=1+\sqrt{3}$，$x_{2}=1 - \sqrt{3}$。
(3)
方程$x^{2} - 3x = 0$，
因式分解得$x(x - 3)=0$，
所以$x = 0$或$x - 3 = 0$，
即$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。
(4)
方程$x^{2} - 2x = 4$，
配方得$x^{2}-2x + 1 = 4 + 1$，
即$(x - 1)^{2}=5$，
开平方得$x - 1=\pm\sqrt{5}$，
所以$x_{1}=1+\sqrt{5}$，$x_{2}=1 - \sqrt{5}$。

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + (k + 3)x + \frac{k^{2}}{4} = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围;
(2) 若方程两根为 $ x_{1} $, $ x_{2} $, 那么是否存在实数 $ k $, 使得等式 $ \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = -1 $ 成立? 若存在, 求出 $ k $ 的值; 若不存在, 请说明理由.

答案：
(1) 对于方程 $x^2 + (k + 3)x + \frac{k^2}{4} = 0$，$a=1$，$b=k+3$，$c=\frac{k^2}{4}$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (k + 3)^2 - 4 × 1 × \frac{k^2}{4} = k^2 + 6k + 9 - k^2 = 6k + 9$。
因方程有两个不相等实根，故 $\Delta ＞ 0$，即 $6k + 9 ＞ 0$，解得 $k ＞ -\frac{3}{2}$。
(2) 由韦达定理，$x_1 + x_2 = -(k + 3)$，$x_1x_2 = \frac{k^2}{4}$。
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-(k + 3)}{\frac{k^2}{4}} = -\frac{4(k + 3)}{k^2}$。
令 $-\frac{4(k + 3)}{k^2} = -1$，化简得 $\frac{4(k + 3)}{k^2} = 1$，即 $k^2 - 4k - 12 = 0$。
解得 $k_1 = 6$，$k_2 = -2$。
由
(1)知 $k ＞ -\frac{3}{2}$，$k_2 = -2$ 舍去，$k_1 = 6$ 符合条件。
故存在 $k = 6$。
(1) $k ＞ -\frac{3}{2}$；
(2) 存在，$k = 6$。