《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

4. 已知三角形的两边长分别为$2和9$,第三边的长为一元二次方程 $x^{2}-14x + 48 = 0$的一根,则这个三角形的周长为 (D)
A.$11$
B.$17$
C.$17或19$
D.$19$

答案： D

5. 若关于$x$的一元二次方程 $x^{2}-2x + kb + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则一次函数 $y = kx + b$的大致图象可能是 (B)

答案： B

6. 当 $x = $$\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$或$\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$时,代数式 $x^{2}-x-2$与 $2x-1$的值互为相反数.

答案： $\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$或$\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$（填写方式依题目具体要求，若提空填写两个答案用逗号隔开）

7. 对于实数$m,n$,定义一种运算“$*$”为 $m*n = mn + n$.如果关于$x$的方程 $x*(a*x)= -\frac{1}{4}$有两个相等的实数根,则$a= $0.

答案： 0

8. 关于$x$的一元二次方程 $(m - 1)x^{2}+2x-1 = 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是$m＞0$且$me 1$（或写作$0 ＜ m 且 m e 1$）.

答案： $m＞0$且$m\ne 1$（或写作$0 ＜ m 且 m \ne 1$）

9. 用公式法解下列方程:
(1) $3x^{2}-10x-8 = 0$;
(2) $(x + 2)(2x-9)= -6$.

答案：
(1) 对于方程 $3x^{2} - 10x - 8 = 0$：
这里，$a = 3$，$b = -10$，$c = -8$。
首先计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-10)^{2} - 4 × 3 × (-8) = 100 + 96 = 196$
由于 $\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
使用公式法求解，得到：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{10 \pm 14}{6}$
因此，$x_{1} = \frac{10 + 14}{6} = 4$，$x_{2} = \frac{10 - 14}{6} = -\frac{2}{3}$。
(2) 对于方程 $(x + 2)(2x - 9) = -6$：
首先展开并整理方程：
$2x^{2} - 9x + 4x - 18 = -6$
$2x^{2} - 5x - 12 = 0$
这里，$a = 2$，$b = -5$，$c = -12$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4 × 2 × (-12) = 25 + 96 = 121$
由于 $\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
使用公式法求解，得到：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{5 \pm 11}{4}$
因此，$x_{1} = \frac{5 + 11}{4} = 4$，$x_{2} = \frac{5 - 11}{4} = -\frac{3}{2}$。

10. 关于$x$的一元二次方程为 $(m - 1)x^{2}-2mx + m + 1 = 0$.
(1) 求出方程的根;
(2) $m$为何整数时,此方程的两个根都为正整数?

答案：
(1)
因为方程 $(m - 1)x^{2}-2mx + m + 1 = 0$ 是一元二次方程，所以 $m - 1\neq 0$，即 $m\neq 1$。
对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程 $(m - 1)x^{2}-2mx + m + 1 = 0$ 中，$a = m - 1$，$b = -2m$，$c = m + 1$。
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m - 1)(m + 1)$
$=4m^{2}-4(m^{2}-1)$
$=4m^{2}-4m^{2}+4$
$= 4$
$x=\frac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m - 1)}=\frac{2m\pm2}{2(m - 1)}$
$x_{1}=\frac{2m + 2}{2(m - 1)}=\frac{m + 1}{m - 1}$，$x_{2}=\frac{2m-2}{2(m - 1)} = 1$。
(2)
由（1）知 $x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}=\frac{m - 1+2}{m - 1}=1+\frac{2}{m - 1}$，$x_{2}=1$。
因为方程的两个根都为正整数，所以 $\frac{2}{m - 1}$ 是正整数。
则 $m - 1 = 1$ 或 $m - 1 = 2$。
当 $m - 1 = 1$ 时，$m = 2$；当 $m - 1 = 2$ 时，$m = 3$。
综上，
(1) $x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}$，$x_{2}=1$；
(2) $m$ 为 $2$ 或 $3$。

已知关于$x$的一元二次方程 $(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)= 0$,其中$a,b,c分别为\triangle ABC$三边的长.
(1) 如果 $x= -1$是方程的根,判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(2) 如果方程有两个相等的实数根,判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(3) 如果$\triangle ABC$是等边三角形,求这个一元二次方程的根.

答案：
(1)
将$x = - 1$代入方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)= 0$，得：
$(a + c)×(-1)^{2}+2b×(-1)+(a - c)=0$
$a + c-2b+a - c = 0$
$2a-2b = 0$
即$a = b$
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2)
方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)= 0$有两个相等的实数根，则$\Delta=(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=0$。
由$4b^{2}-4(a^{2}-c^{2}) = 0$，得$b^{2}+c^{2}=a^{2}$。
所以$\triangle ABC$是直角三角形。
(3)
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c$。
原方程化为$2ax^{2}+2ax=0$，即$2ax(x + 1)=0$。
因为$a\neq0$，所以$x(x + 1)=0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。