《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

1. 如图,四边形 $ABCD$ 是菱形,$CE \perp AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$,$CF \perp AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$。求证：$DF = BE$。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，CD=CB，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE（等角的补角相等）。
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴∠CFD=∠CEB=90°。
在△CFD和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CFD=∠CEB, \\ ∠CDF=∠CBE, \\ CD=CB, \end{array}\right.$
∴△CFD≌△CEB（AAS），
∴DF=BE。

2. 如图,四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$DE // BF$,且分别交对角线 $AC$ 于点 $E$,$F$,连接 $BE$,$DF$。
(1) 求证：$AE = CF$；
(2) 若 $BE = DE$,求证：四边形 $EBFD$ 是菱形。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）
∴∠DAE=∠BCF（两直线平行，内错角相等）
∵DE//BF
∴∠AED=∠CFB（两直线平行，内错角相等）
在△AED和△CFB中
$\left\{\begin{array}{l} ∠DAE=∠BCF \\ ∠AED=∠CFB \\ AD=BC\end{array}\right.$
∴△AED≌△CFB（AAS）
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）
(2) 由（1）得△AED≌△CFB
∴DE=BF（全等三角形对应边相等）
∵DE//BF
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵BE=DE
∴四边形EBFD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

3. 如图,$\triangle ABC$ 是以 $BC$ 为底的等腰三角形,$AD$ 是边 $BC$ 上的高,点 $E$,$F$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点。
(1) 求证：四边形 $AEDF$ 是菱形；
(2) 如果四边形 $AEDF$ 的周长为 $12$,两条对角线的和等于 $7$,求四边形 $AEDF$ 的面积 $S$。

答案：
(1)见证明过程；
(2)13/4。

4. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$,点 $G$ 为 $AD$ 的中点,连接 $CG$,$CG$ 的延长线交 $BA$ 的延长线于点 $F$,连接 $FD$。
(1) 求证：$AB = AF$；
(2) 若 $AG = AB$,$\angle BCD = 120^{\circ}$,判断四边形 $ACDF$ 的形状,并证明你的结论。

答案：
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB // CD$，$AB = CD$（平行四边形对边平行且相等）。
∴$\angle FAG = \angle CDG$（两直线平行，内错角相等）。
∵$G$为$AD$中点，
∴$AG = DG$。
在$\triangle AGF$和$\triangle DGC$中，
$\begin{cases} \angle FAG = \angle CDG \\AG = DG \\\angle AGF = \angle DGC \end{cases}$（对顶角相等），
∴$\triangle AGF \cong \triangle DGC$（ASA）。
∴$AF = CD$（全等三角形对应边相等）。
又
∵$AB = CD$，
∴$AB = AF$。
(2) 四边形$ACDF$是矩形。证明如下：
由（1）知$AF = CD$，$AF // CD$，
∴四边形$ACDF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$\angle BCD = 120°$，
∴$\angle ADC = 180° - \angle BCD = 60°$（平行四边形邻角互补），$CD = AB$。
∵$G$为$AD$中点，$AG = AB$，设$AB = x$，则$AG = GD = x$，$AD = 2x$，$CD = AB = x$。
在$\triangle DGC$中，$GD = x$，$CD = x$，$\angle ADC = 60°$，
∴$\triangle DGC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形）。
∴$GC = CD = x$。
∵$\triangle AGF \cong \triangle DGC$（已证），
∴$GF = GC = x$，
∴$CF = GC + GF = x + x = 2x$。
又
∵$AD = 2x$，
∴$CF = AD$。
∵四边形$ACDF$是平行四边形，且对角线$CF = AD$，
∴四边形$ACDF$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
结论：
(1) $AB = AF$；
(2) 四边形$ACDF$是矩形。