《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

7. 用配方法解方程 $ x^{2}-2x - 5 = 0 $ 时,将方程化为 $ (x - m)^{2}= n $ 的形式,则 $ m = $1,$ n = $6.

答案： 1,6

8. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (x + 2)^{2}= n $ 有实数根,则 $ n $ 的取值范围是$n \geq 0$.

答案： $n \geq 0$

9. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 1)x^{2}-2x + a^{2}-1 = 0 $ 有一个根为 $ x = 0 $,则 $ a = $-1.

答案： -1

10. 用配方法解方程：
(1) $ x^{2}-2x = 2x + 1 $；
(2) $ x^{2}-\frac{2}{3}x + 1 = 0 $；
(3) $ x^{2}-\frac{5}{3}x - \frac{2}{3}= 0 $；
(4) $ x^{2}-2\sqrt{2}x - 3 = 0 $.

答案：
(1)
原方程$x^{2} - 2x = 2x + 1$可化为$x^{2}-4x = 1$。
配方得$x^{2}-4x + 4 = 1 + 4$，即$(x - 2)^{2}=5$。
开平方得$x - 2=\pm\sqrt{5}$。
解得$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2 - \sqrt{5}$。
(2)
原方程$x^{2}-\frac{2}{3}x + 1 = 0$可化为$x^{2}-\frac{2}{3}x=-1$。
配方得$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$，即$(x - \frac{1}{3})^{2}=-\frac{8}{9}\lt0$。
所以原方程无实数根。
(3)
原方程$x^{2}-\frac{5}{3}x - \frac{2}{3}=0$可化为$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}$。
配方得$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$，即$(x - \frac{5}{6})^{2}=\frac{24 + 25}{36}=\frac{49}{36}$。
开平方得$x - \frac{5}{6}=\pm\frac{7}{6}$。
当$x - \frac{5}{6}=\frac{7}{6}$时，$x = 2$；当$x - \frac{5}{6}=-\frac{7}{6}$时，$x=-\frac{1}{3}$。
所以$x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{1}{3}$。
(4)
原方程$x^{2}-2\sqrt{2}x - 3 = 0$可化为$x^{2}-2\sqrt{2}x = 3$。
配方得$x^{2}-2\sqrt{2}x+2 = 3 + 2$，即$(x - \sqrt{2})^{2}=5$。
开平方得$x - \sqrt{2}=\pm\sqrt{5}$。
解得$x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$，$x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{5}$。

11. 求证：无论 $ x,y $ 为何值,代数式 $ x^{2}+y^{2}-2x - 4y + 5 $ 的值不小于 0.

答案： 证明：
$x^{2}+y^{2}-2x - 4y + 5$
$=x^{2}-2x+1 + y^{2}-4y+4$
$=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}$.
因为$(x-1)^{2}\geq0$，$(y-2)^{2}\geq0$，
所以$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}\geq0$.
即无论$x,y$为何值，代数式$x^{2}+y^{2}-2x - 4y + 5$的值不小于0.

1. 将一元二次方程 $ x^{2}-8x - 5 = 0 $ 化成 $ (x + a)^{2}= b $($ a,b $ 为常数)的形式,则 $ a,b $ 的值分别是 (A)
A.$ -4,21 $
B.$ -4,11 $
C.$ 4,21 $
D.$ -8,69 $

答案： A

2. 根据要求,解答下列问题：
(1)① 方程 $ x^{2}-2x + 1 = 0 $ 的解为$x_{1}=x_{2}=1$；
② 方程 $ x^{2}-3x + 2 = 0 $ 的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=2$；
③ 方程 $ x^{2}-4x + 3 = 0 $ 的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=3$；
……
(2)根据以上方程的特征及其解的特征,请猜想：
① 方程 $ x^{2}-9x + 8 = 0 $ 的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=8$；
② 关于 $ x $ 的方程$x^{2}-(n + 1)x + n=0$的解为 $ x_{1}= 1,x_{2}= n $.
(3)请用配方法解方程 $ x^{2}-9x + 8 = 0 $,以验证猜想结论的正确性.

答案：
(1)①$x_{1}=x_{2}=1$；
②$x_{1}=1$，$x_{2}=2$；
③$x_{1}=1$，$x_{2}=3$；
(2)①$x_{1}=1$，$x_{2}=8$；
②$x^{2}-(n + 1)x + n=0$；
(3)方程$x^{2}-9x + 8 = 0$移项得$x^{2}-9x=-8$，
配方得$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$，
即$(x - \frac{9}{2})^{2}=\frac{49}{4}$，
开平方得$x - \frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$，
解得$x_{1}=8$，$x_{2}=1$。