《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

6. 先把下列一元二次方程化成一般形式,再写出二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)$4 - 7x^{2}-11x = 0$;
(2)$3y(y + 1)= 7(y + 2)-5$.

答案：
(1) 将方程 $4 - 7x^{2} - 11x = 0$ 化为一般形式：
$-7x^{2} - 11x + 4 = 0$
二次项系数：$-7$，一次项系数：$-11$，常数项：$4$。
(2) 展开并整理方程 $3y(y + 1) = 7(y + 2) - 5$：
左边：$3y^2 + 3y$，
右边：$7y + 14 - 5 = 7y + 9$，
移项得：$3y^2 + 3y - 7y - 9 = 0$，
即 $3y^{2} - 4y - 9 = 0$，
二次项系数：$3$，一次项系数：$-4$，常数项：$-9$。

7. 已知关于$x的方程(m^{2}-1)x^{2}-(m + 1)x + m = 0$.
(1)$m$为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)$m$为何值时,此方程是一元二次方程?写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.

答案：
(1)要使方程为一元一次方程，则需要二次项系数为0，且一次项系数不为0，
即：
$m^{2} - 1 = 0$
得：
$m = \pm 1$
且
$-(m + 1) \neq 0$
得：
$m \neq -1$
综合以上两个条件，得 $m = 1$。
所以当$m = 1$，此方程是一元一次方程。
(2)要使方程为一元二次方程，则需要二次项系数不为0，
即：
$m^{2} - 1 \neq 0$
解得：
$m \neq \pm 1$
所以当$m \neq \pm 1$，此方程是一元二次方程。
此时，一元二次方程的二次项系数为 $m^{2} - 1$，一次项系数为 $-(m + 1)$，常数项为 $m$。

8. 根据题意,列出方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)一张桌面的长为$6m$,宽为$3m$,铺在桌子上的台布的面积是桌面面积的三倍,并且各边垂下的长度相同,求台布垂下的长度;
(2)已知某两位数,个位数字与十位数字之和为12,个位数字与十位数字之积为32,求这个两位数;
(3)如图,在宽为$20m$、长为$30m$的矩形场地上,修筑同样宽的两条道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的面积为$500m^{2}$.求道路的路宽.
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答案：
(1)设台布垂下的长度为$x$米，桌面面积为$6×3 = 18\,m^2$，台布面积为$3×18 = 54\,m^2$。台布长为$(6 + 2x)$米，宽为$(3 + 2x)$米，方程为$(6 + 2x)(3 + 2x)=54$，展开得$4x^2 + 18x + 18 = 54$，化简为$2x^2 + 9x - 18 = 0$。
(2)设十位数字为$x$，则个位数字为$12 - x$，方程为$x(12 - x)=32$，展开得$-x^2 + 12x - 32 = 0$，整理为$x^2 - 12x + 32 = 0$。
(3)设道路宽为$x$米，场地总面积为$20×30 = 600\,m^2$，耕地面积为$500\,m^2$，余下耕地可视为长$(30 - x)$米、宽$(20 - x)$米的矩形，方程为$(30 - x)(20 - x)=500$，展开得$x^2 - 50x + 600 = 500$，整理为$x^2 - 50x + 100 = 0$。

一元二次方程$a(x^{2}+1)+b(x + 2)+c = 0化为一般形式为6x^{2}+10x - 1 = 0$,求以$a,b$为对角线的菱形的面积.

答案： 将方程$a(x^{2} + 1) + b(x + 2) + c = 0$展开得到：
$ax^{2} + a + bx + 2b + c = 0$，
整理得：
$ax^{2} + bx + (a + 2b + c) = 0$。
根据题意，该方程与$6x^{2} + 10x - 1 = 0$是同一方程，
所以，可以得到以下方程组：
$a = 6$，
$b = 10$，
$a + 2b + c = -1$。
由$a = 6$和$b = 10$，
代入$a + 2b + c = -1$得：
$6 + 20 + c = -1$，
从中解得：
$c = -27$。
菱形的面积公式为$\frac{1}{2} × d_1 × d_2$，其中$d_1$和$d_2$为菱形的两条对角线。
代入$a = 6$和$b = 10$，得到菱形的面积为：
$\frac{1}{2} × 6 × 10 = 30$。
故答案为：30。