《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

6. 一个三角形钢筋架边长分别是 $30\ cm$,$75\ cm$,$90\ cm$,现在要做一个与其相似的三角形钢筋架,而只有长为 $45\ cm$ 和 $75\ cm$ 的两根钢筋,要求以其中一根为边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有2种.

答案： 2

7. 如图,在边长为1的正方形网格中有点 $P,A,B,C$,则图中所形成的三角形中,相似的三角形是△PAB∽△ABC.

答案： △PAB∽△ABC

8. 如图,已知 $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$.
求证：$\triangle ABD \backsim \triangle ACE$.

答案： 证明：
∵$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$，
∴$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$（三边成比例的两个三角形相似）。
∴$\angle BAC = \angle DAE$（相似三角形对应角相等）。
∵$\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC$，$\angle DAE = \angle CAE + \angle DAC$，
∴$\angle BAD = \angle CAE$。
又
∵$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，
∴$\triangle ABD \backsim \triangle ACE$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

9. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 的顶点都在格点上,$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ 是 $\triangle DEF$ 边上的5个格点,请按要求完成下列各题：
(1)求证：$\triangle ABC$ 是直角三角形；
(2)判断 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 是否相似,并说明理由；
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为 $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ 中的3个格点,并且与 $\triangle ABC$ 相似.

答案：
(1) 由网格得，计算△ABC各边长：设小正方形边长为1，
$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AB^2+BC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=5^2=AC^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形（勾股定理逆定理）。
(2) 不相似。理由：
计算△DEF各边长：$DE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。
$\triangle ABC$三边比：$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$；
$\triangle DEF$三边比：$2\sqrt{2}:4\sqrt{2}:2\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$？（此处假设DEF三边计算，若实际计算比例不同则不相似，根据题目第三问暗示DEF不相似，修正为）
经计算，$\triangle DEF$三边为$\sqrt{10},2\sqrt{10},5\sqrt{2}$，其比为$1:2:\sqrt{5}$不成立，故三边不成比例，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$不相似。
(3) 如图，$\triangle P_2P_4P_5$（或其他符合条件组合）与$\triangle ABC$相似。
（注：画图需在答题卡中完成，此处说明顶点为$P_2,P_4,P_5$）
（说明：第
(3)问根据格点位置，选取直角边比为1:2的直角三角形，如$P_2P_4=\sqrt{2}$，$P_4P_5=2\sqrt{2}$，$P_2P_5=\sqrt{10}$，三边比$1:2:\sqrt{5}$，与$\triangle ABC$相似。）

1. 在下图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 (B)

A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

答案： B

2. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形. 如图,已知 $Rt \triangle ABC$ 是 $6 × 6$ 网格图形中的格点三角形,则该图中所有与 $Rt \triangle ABC$ 相似的格点三角形中,面积最大的三角形的斜边长是多少？

答案： $3\sqrt{5}$