《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

1. 如图,直线 $ y= \frac{1}{3}x+1 $ 与 $ x $ 轴,$ y $ 轴分别交于 $ A $,$ B $ 两点,$ \triangle BOC $ 与 $ \triangle B'O'C' $ 是以点 $ A $ 为位似中心的位似图形,且相似比为 $ 1:2 $,则点 $ B' $ 的坐标为$(3,2)$或$(-9,-2)$。

答案： $(3,2)$或$(-9,-2)$

2. 已知 $ \triangle ABC $ 在平面直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为 $ A(0,3) $,$ B(3,4) $,$ C(2,2) $(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)。
(1)画出 $ \triangle ABC $ 向下平移 $ 4 $ 个单位长度得到的 $ \triangle A_1B_1C_1 $,点 $ C_1 $ 的坐标是(2,-2)；
(2)以点 $ B $ 为位似中心,在网格内画出 $ \triangle A_2B_2C_2 $,使 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 与 $ \triangle ABC $ 位似,且相似比为 $ 2:1 $,点 $ C_2 $ 的坐标是(1,0)；
(3)$ \triangle A_2B_2C_2 $ 的面积是10平方单位。

答案：
(1)
平移后顶点坐标分别为$A_1(0 - 0,3 - 4)=(0,-1)$，$B_1(3 - 0,4 - 4)=(3,0)$，$C_1(2 - 0,2 - 4)=(2,-2)$；
在平面直角坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$并连接，$\triangle A_1B_1C_1$即为所求，点$C_1$的坐标是$(2,-2)$。
(2)
当$\triangle A_2B_2C_2$与$\triangle ABC$在位似中心$B$同侧时，
由位似性质得$\overrightarrow{BA_2}=2\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC_2}=2\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}=(0 - 3,3 - 4)=(-3,-1)$，则$\overrightarrow{BA_2}=2(-3,-1)=(-6,-2)$，$A_2$坐标为$B(3,4)+(-6,-2)=(3 - 6,4 - 2)=(-3,2)$；
$\overrightarrow{BC}=(2 - 3,2 - 4)=(-1,-2)$，则$\overrightarrow{BC_2}=2(-1,-2)=(-2,-4)$，$C_2$坐标为$B(3,4)+(-2,-4)=(3 - 2,4 - 4)=(1,0)$。
当$\triangle A_2B_2C_2$与$\triangle ABC$在位似中心$B$异侧时，
$\overrightarrow{BA_2}=- 2\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BA}=(-3,-1)$，$\overrightarrow{BA_2}=-2(-3,-1)=(6,2)$，$A_2$坐标为$B(3,4)+(6,2)=(3 + 6,4 + 2)=(9,6)$；
$\overrightarrow{BC}=(-1,-2)$，$\overrightarrow{BC_2}=-2(-1,-2)=(2,4)$，$C_2$坐标为$B(3,4)+(2,4)=(3 + 2,4 + 4)=(5,8)$。
因为图形在网格内，所以取$\triangle A_2B_2C_2$与$\triangle ABC$在位似中心$B$同侧的情况，点$C_2$的坐标是$(1,0)$。
(3)
$\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{(3 - 0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{9 + 1}=\sqrt{10}$，
$BC=\sqrt{(2 - 3)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(2 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
根据勾股定理逆定理$AC^{2}+BC^{2}=5 + 5 = 10=AB^{2}$，$\triangle ABC$是直角三角形，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}$。
因为$\triangle A_2B_2C_2$与$\triangle ABC$相似比为$2:1$，所以$S_{\triangle A_2B_2C_2}=2^{2}× S_{\triangle ABC}=4×\frac{5}{2}=10$。
综上，答案依次为：
(1)$(2,-2)$；
(2)$(1,0)$；
(3)$10$。