《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

7. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 1 $,在 $ BC $ 上取一点 $ E $,将 $ \triangle ABE $ 沿 $ AE $ 向上折叠,使点 $ B $ 落在 $ AD $ 上的点 $ F $。若四边形 $ EFDC $ 与矩形 $ ABCD $ 相似,则 $ AD = $$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。

答案： $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

8. 如图,一块矩形草坪长 $ 30\mathrm{m} $,宽 $ 20\mathrm{m} $,外围有一条等宽(宽度为 $ 2\mathrm{m} $)的小路,请问内外两个矩形相似吗？请说明理由。

答案： 不相似。
内矩形长30m，宽20m，长宽比为30:20=3:2。
外矩形长为30+2×2=34m，宽为20+2×2=24m，长宽比为34:24=17:12。
3:2≠17:12，故内外矩形不相似。

9. 如图,四边形 $ ABCD \sim $ 四边形 $ A'B'C'D' $,求边 $ x $,$ y $ 的长度和 $ \angle \alpha $ 的大小。

答案： 解题步骤：
1. 确定相似比：
四边形 $ABCD \sim$ 四边形 $A'B'C'D'$，顶点对应顺序为 $A \leftrightarrow A'$，$B \leftrightarrow B'$，$C \leftrightarrow C'$，$D \leftrightarrow D'$。对应边 $AD = 9$，$A'D' = 6$，相似比 $k = \frac{AD}{A'D'} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$。
2. 求边 $y$ 的长度：
对应边 $AB \leftrightarrow A'B'$，$A'B' = 11$。由相似比得 $\frac{AB}{A'B'} = k$，即 $\frac{y}{11} = \frac{3}{2}$，解得 $y = 11 × \frac{3}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$。
3. 求边 $x$ 的长度：
对应边 $BC \leftrightarrow B'C'$，$B'C' = 8$。由相似比得 $\frac{BC}{B'C'} = k$，即 $\frac{x}{8} = \frac{3}{2}$，解得 $x = 8 × \frac{3}{2} = 12$。
4. 求 $\angle \alpha$ 的大小：
对应角相等，$\angle D = \angle D' = 140°$。四边形内角和为 $360°$，在四边形 $ABCD$ 中：
$\angle C = 360° - \angle A - \angle B - \angle D = 360° - 62° - 75° - 140° = 83°$。
由于 $\angle C \leftrightarrow \angle C'$，故 $\angle \alpha = \angle C = 83°$。
结论：
$x = 12$，$y = \frac{33}{2}$（或 $16.5$），$\angle \alpha = 83°$。

10. 如图,点 $ E $ 是菱形 $ ABCD $ 对角线 $ CA $ 的延长线上的任意一点,以线段 $ AE $ 为边作一个菱形 $ AEFG $,且菱形 $ AEFG \sim $ 菱形 $ ABCD $,连接 $ EB $,$ GD $。
(1) 求证：$ EB = GD $；
(2) 若 $ \angle DAB = 60^{\circ} $,$ AB = 2 $,$ AG = \sqrt{3} $,求 $ GD $ 的长。

答案：
(1) 见证明；
(2) $\sqrt{13}$

1. 手工制作课上,小红把一些花布的边角料剪裁后用于装饰手工画,下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相等,那么,每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是(D)

答案： D

2. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,截去一个正方形 $ ABFE $ 后,使剩下的矩形对开后与原矩形相似,那么原矩形中 $ AD:AB = $$\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$。

答案： $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$