《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

5. 如图,$\triangle ABC的面积为12cm^{2}$,点$D$,$E分别是AB$,$AC$边的中点,则四边形$DBCE$的面积为9$cm^{2}$.

答案： 9

6. 如果把两条直角边长分别为$5$,$10的直角三角形按相似比\frac{3}{5}$进行缩小,得到的直角三角形的面积是9.

答案： $9$

7. 如图,把$\triangle ABC沿着AB边平移到\triangle A'B'C'$的位置,它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是$\triangle ABC面积的\frac{1}{4}$. 若$AB = 2$,则$\triangle ABC$平移的距离是1.

答案： 1

8. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为$1$,$\triangle ABC和\triangle DEF$的顶点都在网格线的交点上. 设$\triangle ABC的周长为C_{1}$,$\triangle DEF的周长为C_{2}$,则$\frac{C_{1}}{C_{2}}$的值等于√2.

答案： √2

9. 已知在$\triangle ABC$中,$AB = 15cm$,$BC = 20cm$,$AC = 25cm$,另一个与它相似的$\triangle A'B'C'的最长边A'C' = 50cm$,求$\triangle A'B'C'$的周长和面积.

答案： 解：
1. 判断△ABC的形状
在△ABC中，AB=15cm，BC=20cm，AC=25cm。

∵ $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$，

∴ △ABC是直角三角形，且∠B=90°（最长边AC为斜边）。
2. 求△ABC的周长和面积
周长：$C_{\triangle ABC} = 15 + 20 + 25 = 60$ cm。
面积：$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 15 × 20 = 150$ cm²。
3. 求相似比

∵ △ABC∽△A'B'C'，且最长边AC=25cm，A'C'=50cm，

∴ 相似比 $k = \frac{AC}{A'C'} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$，则 $\frac{A'C'}{AC} = 2$。
4. 求△A'B'C'的周长和面积
周长：$C_{\triangle A'B'C'} = C_{\triangle ABC} × 2 = 60 × 2 = 120$ cm。
面积：$S_{\triangle A'B'C'} = S_{\triangle ABC} × 2^2 = 150 × 4 = 600$ cm²。
结论：
△A'B'C'的周长为120cm，面积为600cm²。

10. (2023·湖北黄冈中考)如图,在$\triangle ABC和\triangle DEC$中,$\angle A= \angle D$,$\angle BCE= \angle ACD$.
(1) 求证：$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$.
(2) 若$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}= 4:9$,$BC = 6$,求$EC$的长.

答案：
(1)
证明：
因为$\angle BCE = \angle ACD$，所以$\angle BCE+\angle ACE=\angle ACD + \angle ACE$，即$\angle ACB=\angle DCE$。
又因为$\angle A = \angle D$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$。
(2)
因为$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，设$\triangle ABC$与$\triangle DEC$的相似比为$k$，则$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}=k^{2}$。
已知$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}=\frac{4}{9}$，所以$k^{2}=\frac{4}{9}$，则$k = \frac{2}{3}$（相似比为正数）。
又因为相似三角形对应边成比例，且$\frac{BC}{EC}=k$，$BC = 6$，即$\frac{6}{EC}=\frac{2}{3}$，解得$EC = 9$。
综上，答案为：
(1)证明过程如上述；
(2)$EC$的长为$9$。

1. 下图为三角形纸片$ABC$,其中点$D和点E将AB$分成三等分,点$F为DE$的中点. 若小慕从$AB上的一点P$,沿着与直线$BC$平行的方向将纸片剪开后,剪下的小三角形纸片面积为$\triangle ABC的\frac{1}{3}$,则下列关于点$P$位置的叙述正确的是(D)

A.与点$D$重合
B.与点$E$重合
C.在$DF$上,但不与点$D也不与点F$重合
D.在$FE$上,但不与点$F也不与点E$重合

答案： D

2. 如图,将$\triangle ABC沿BC边上的中线AD平移到\triangle A'B'C'$的位置. 已知$\triangle ABC的面积为16$,阴影部分三角形的面积为$9$. 若$AA' = 1$,则$A'D$等于(B)

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$\frac{3}{2}$

答案： B