《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

11. 阅读材料，回答下列问题：
已知平面内两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则这两点间的距离可用下面的公式计算：$MN = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$。例如：已知点$P(3,1)$，$Q(1,-2)$，则这两点间的距离$PQ = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 + 2)^2} = \sqrt{13}$。
特别地，如果两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为$MN = \vert x_1 - x_2\vert$或$\vert y_1 - y_2\vert$。
（1）已知$A(1,2)$，$B(-2,-3)$，试求$A$，$B$两点间的距离。
（2）已知点$A$，$B$在平行于$y$轴的同一条直线上，点$A$的纵坐标为$5$，点$B$的纵坐标为$-1$，试求$A$，$B$两点间的距离。
（3）已知$\triangle ABC$的顶点坐标分别为$A(0,4)$，$B(-1,2)$，$C(4,2)$，你能判定$\triangle ABC$的形状吗？请说明理由。

答案： （1）已知$A(1,2)$，$B(-2,-3)$，根据两点间距离公式可得：
$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{(3)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$
（2）因为点$A$，$B$在平行于$y$轴的同一条直线上，所以两点间距离为纵坐标差的绝对值，即：
$AB = \vert 5 - (-1)\vert = \vert 6\vert = 6$
（3）已知$A(0,4)$，$B(-1,2)$，$C(4,2)$。
先求各边长：
$AB = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$BC = \vert -1 - 4\vert = 5\quad ( 因为B,C 纵坐标相同，平行于x 轴)$
因为$AB^2 + AC^2 = (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5 + 20 = 25 = 5^2 = BC^2$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。