《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

10. 已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c.
（1）若 a，b，c 满足$(a - b)^2 + (b - c)^2 = 0$，试判断△ABC 的形状.
（2）若 a = 5，b = 2，且 c 为整数，求△ABC 的周长的最大值及最小值.

答案： （1）
由$(a - b)^2 + (b - c)^2 = 0$，
因为平方数非负，所以要使上式成立，需满足：
$\begin{cases}a - b = 0 \\b - c = 0\end{cases}$
解得：$a = b$，$b = c$，
所以$a = b = c$，
因此，$\bigtriangleup ABC$是等边三角形。
（2）
根据三角形的三边关系，有：
$5 - 2 \lt c \lt 5 + 2$，
即：
$3 \lt c \lt 7$，
由于$c$为整数，所以$c$的可能取值为$4$，$5$，$6$。
当$c = 4$时，$\bigtriangleup ABC$的周长为：
$5 + 2 + 4 = 11$；
当$c = 5$时，$\bigtriangleup ABC$的周长为：
$5 + 2 + 5 = 12$；
当$c = 6$时，$\bigtriangleup ABC$的周长为：
$5 + 2 + 6 = 13$；
综上，$\bigtriangleup ABC$的周长的最大值为$13$，最小值为$11$。

11. 观察并探究下列各问题，写出你所得到的结论.
(1)如图甲所示，在△ABC 中，P 为边 BC 上一点，则 BP + PC(填“＞”“＜”或“=”)AB + AC.
(2)将(1)中点 P 移到△ABC 内，如图乙所示，试观察和比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.
(3)将(2)中点 P 变为两个点 $P_1$，$P_2$，如图丙所示，试观察和比较四边形 $BP_1P_2C$ 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.

答案：
(1) ＜
(2) △BPC的周长＜△ABC的周长。理由：延长BP交AC于D，在△ABD中，AB+AD＞BP+PD；在△PDC中，PD+DC＞PC。两式相加得AB+AD+PD+DC＞BP+PD+PC，即AB+AC＞BP+PC。又△BPC周长=BP+PC+BC，△ABC周长=AB+AC+BC，故△BPC周长＜△ABC周长。
(3) 四边形BP₁P₂C的周长＜△ABC的周长。理由：延长BP₁交AC于D，延长CP₂交BD于E。在△ABD中，AB+AD＞BP₁+P₁E+ED；在△EDC中，ED+DC＞EP₂+P₂C；在△EP₁P₂中，P₁E+EP₂＞P₁P₂。三式相加得AB+AD+ED+DC+P₁E+EP₂＞BP₁+P₁E+ED+EP₂+P₂C+P₁P₂，即AB+AC＞BP₁+P₁P₂+P₂C。又四边形BP₁P₂C周长=BP₁+P₁P₂+P₂C+BC，△ABC周长=AB+AC+BC，故四边形BP₁P₂C周长＜△ABC周长。