《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

10. 如图所示，∠ACB = 90°，AC = BC.AD ⊥ CE，BE ⊥ CE，垂足分别是 D 与 E.若 AD = 3，BE = 1，则 DE 的长是().

A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.4
D.1

答案： B

11. 已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足 $a^{2} + 2ab = c^{2} + 2bc$，试判断△ABC 的形状.

答案： 答题卡：
由已知条件 $a^{2} + 2ab = c^{2} + 2bc$，
移项得：$a^{2} - c^{2} + 2ab - 2bc = 0$，
因式分解得：$(a - c)(a + c) + 2b(a - c) = 0$，
提取公因式得：$(a - c)(a + c + 2b) = 0$，
由于 $a, b, c$ 是三角形的三边长，所以 $a + c + 2b ＞ 0$，
因此，要使上式成立，必须有 $a - c = 0$，
即 $a = c$。
所以，$\bigtriangleup ABC$ 是等腰三角形。

12. 求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等(要求画图，先写出已知、求证，再证明).

答案： 已知：在△ABC中，AB = AC，D为底边BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE = DF。
证明：
1. 连接AD，则AD为△ABC的中线、高和顶角平角线（等腰三角形三线合一）。
2.
∵ AB = AC，AD平分∠BAC，

∴ ∠BAD = ∠CAD。
3.
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ ∠AED = ∠AFD = 90°。
4. 在△AED和△AFD中：
∠AED = ∠AFD = 90°，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边）。

∴ △AED ≌ △AFD（AAS）。
5.
∴ DE = DF（全等三角形对应边相等）。
图：（描述）等腰△ABC中，BC为底边，D为BC中点，DE垂直AB于E，DF垂直AC于F。

13. 如图甲所示，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上任意一点，过点 D 分别向 AB，AC 引垂线，垂足分别为 E，F.
（1）当点 D 在 BC 的什么位置时，DE = DF？请予以证明.
（2）如图乙所示，过点 C 作 AB 边上的高 CG，试猜想 DE，DF，CG 的长之间存在怎样的等量关系？（直接写出你的结论）

答案： （1）当点$D$在$BC$的中点时，$DE = DF$。
证明：
因为$AB = AC$，所以$\angle B = \angle C$。
因为$D$是$BC$的中点，所以$BD = CD$。
因为$DE\bot AB$，$DF\bot AC$，所以$\angle BED=\angle CFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle BED$和$\triangle CFD$中，$\begin{cases}\angle BED = \angle CFD\\\angle B = \angle C\\BD = CD\end{cases}$。
根据$AAS$（角角边）定理，$\triangle BED\cong\triangle CFD$。
所以$DE = DF$。
（2）$CG=DE+DF$。