《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

8. 如图所示,点$D$在$BC$上,$DE$与$AC$相交于点$F$,若$\angle 1=\angle 2=\angle 3$,$AC=AE$,求证:$\triangle ABC\cong \triangle ADE$.

答案：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式性质），即∠BAC=∠DAE。
∵∠2=∠3，∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
在△AFE和△DFC中，∠AFE=180°-∠2-∠E，∠DFC=180°-∠3-∠C，
∴180°-∠2-∠E=180°-∠3-∠C（等量代换）。
又∠2=∠3，
∴∠C=∠E（等式性质）。
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE，
AC=AE，
∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE（ASA）。

9. 在$\triangle ABC$中,$D$,$F$分别为线段$AC$,$AB$上两点,连结$BD$,$CF$交于点$E$.
(1) 若$BD\perp AC$,$CF\perp AB$,如图甲所示,$\angle A+\angle BEC=$.
(2) 若$BD$平分$\angle ABC$,$CF$平分$\angle ACB$,如图乙所示,试说明此时$\angle BAC$与$\angle BEC$的数量关系.
(3) 在(2)的条件下,若$\angle BAC = 60^{\circ}$,试证明:$EF = ED$.

答案：
(1) 180°
(2)
∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBC=1/2∠ABC，∠ECB=1/2∠ACB。
在△BEC中，∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)。
∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BEC=180°-1/2(180°-∠BAC)=90°+1/2∠BAC。
(3)
∵∠BAC=60°，由
(2)得∠BEC=90°+1/2×60°=120°，
∴∠BEF=∠BED=60°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE。
在△BEF和△BED中，
∠FBE=∠DBE，
∠BEF=∠BED，
BE=BE，
∴△BEF≌△BED(AAS)，
∴EF=ED。