《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

6. 如图所示，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$是$BC$的中点，$AE = BF$。求证：$\triangle DEF$为等腰直角三角形。

答案： 证明：
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90°$，$AB=AC$，
∴$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$\angle B=\angle C=45°$。
∵$D$是$BC$中点，
∴$AD$为斜边$BC$上的中线，
∴$AD=BD=CD$（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半），
且$AD\perp BC$（等腰直角三角形斜边上的中线垂直于斜边），$\angle BAD=\angle CAD=45°$（等腰直角三角形斜边上的中线平分顶角）。
∵$AE=BF$，
在$\triangle BDF$和$\triangle ADE$中：
$\begin{cases} BD=AD&( 已证)\\ \angle B=\angle DAE=45°&( 已证)\\ BF=AE&( 已知) \end{cases}$
∴$\triangle BDF\cong\triangle ADE(SAS)$，
∴$DF=DE$，$\angle BDF=\angle ADE$（全等三角形对应边相等，对应角相等）。
∵$AD\perp BC$，
∴$\angle ADB=90°$，即$\angle BDF+\angle ADF=90°$。
又
∵$\angle BDF=\angle ADE$，
∴$\angle ADE+\angle ADF=90°$，即$\angle EDF=90°$。
∵$DE=DF$且$\angle EDF=90°$，
∴$\triangle DEF$为等腰直角三角形。
结论：$\triangle DEF$为等腰直角三角形。

7. 如图所示，在$\triangle ABC$中，已知$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD\perp BC$于点$D$，$\angle B = 30^{\circ}$，则与$BD$的长相等的是()。

A.$5DC$
B.$4DC$
C.$3DC$
D.$2DC$

答案： C

8. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$上的一点，$AD = AB$，$E$，$F$分别是$BD$，$AC$的中点。若$AC = 8$，则$EF$的长为。

答案： 4

9. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$D$为$BC$的中点，$CE\perp AD$于点$E$，$BF// AC$交$CE$的延长线于点$F$，连结$DF$，求证：$AB$垂直平分$DF$。

答案： 证明：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠ACD=90°．
∵BF//AC，∠ACB=90°，
∴∠CBF=∠ACB=90°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°（直角三角形两锐角互余）．
又
∵∠ACB=90°，即∠ACE+∠ECD=90°，
∴∠CAE=∠ECD（同角的余角相等），即∠CAD=∠BCF．
在△ACD和△CBF中，
∠CAD=∠BCF，
AC=BC，
∠ACD=∠CBF=90°，
∴△ACD≌△CBF（ASA），
∴CD=BF（全等三角形对应边相等）．
∵D为BC中点，
∴CD=BD（中点定义），
∴BD=BF（等量代换）．
∵BF//AC，∠CAB=45°，
∴∠ABF=∠CAB=45°（两直线平行，内错角相等）．
又
∵∠CBA=45°，即∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠ABF（等量代换），即BA平分∠DBF．
∵BD=BF，
∴△DBF是等腰三角形．
∵BA平分顶角∠DBF，
∴BA垂直平分底边DF（等腰三角形三线合一）．
即AB垂直平分DF．