《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

9. 已知点$A(-1,0)$，$B(5,0)$，$C(x,y)$。请回答下列问题：
（1）若点$C$在第三象限且$\vert x\vert = 5$，$\vert y\vert = 4$，求点$C$的坐标及$\triangle ABC$的面积。
（2）若点$C$在第二、四象限的角平分线上，且$\triangle ABC$的面积为$9$，求点$C$的坐标。

答案： （1）
由于点$C$在第三象限，根据坐标系的性质，第三象限的点横坐标和纵坐标均为负。
又因为$\vert x\vert = 5$，$\vert y\vert = 4$，所以点$C$的坐标为$(-5, -4)$。
已知点$A(-1,0)$，$B(5,0)$，所以$AB$的长度为：
$AB = \vert 5 - (-1)\vert = 6$
点$C$到$x$轴的距离为其纵坐标的绝对值，即$4$。
因此，$\triangle ABC$的面积为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × 4 = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
（2）
由于点$C$在第二、四象限的角平分线上，根据坐标系的性质，该线上的点满足$x = -y$。
设点$C$的坐标为$(x, -x)$。
已知$\triangle ABC$的面积为$9$，且$AB = 6$，所以：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × \vert -x\vert = 9$
代入$AB = 6$，得：
$\frac{1}{2} × 6 × \vert -x\vert = 9$
解得：
$\vert -x\vert = 3$
即：
$x = \pm 3$
由于点$C$在第二、四象限的角平分线上，所以点$C$的坐标为$(3, -3)$或$(-3, 3)$。

10. 如图所示，已知点$A$的坐标为$(-3,-4)$，点$B$的坐标为$(5,0)$。
（1）试说明$OA = OB$。
（2）求$\triangle AOB$的面积。
（3）求原点$O$到$AB$的距离。

答案： （1）点$A$的坐标为$(-3, -4)$，
$\therefore OA = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$，
点$B$的坐标为$(5, 0)$，
$\therefore OB = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$，
$\therefore OA = OB$。
（2）$\triangle AOB$的底$OB$长度为$5$，高为点$A$到$x$轴的距离，即$|-4| = 4$，
$\therefore S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × OB × 高 = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$。
（3）设原点$O$到$AB$的距离为$h$，
由面积法，$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × AB × h$，
$AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$，
$\therefore 10 = \frac{1}{2} × 4\sqrt{5} × h$，
$h = \frac{10 × 2}{4\sqrt{5}} = \frac{20}{4\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$，
$\therefore$原点$O$到$AB$的距离为$\sqrt{5} (或约等于2.24)$。