《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

6. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，有下列四个结论：①DE=DF；②BE=CF；③AD⊥BC且BD=CD；④∠BDE=∠CDF。其中正确的个数是()。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： D

7. 如图所示，已知△ABC为等边三角形，D为BC上一动点，AD=AE，∠DAE=60°。若AB=4，当四边形ADCE的周长取最小值时，BD的长为()。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

8. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE。求证：
（1）△AEF≌△CEB。
（2）AF=2CD。

答案： （1）
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高。
∵CE⊥AB，
∴∠AEF=∠CEB=90°（垂直定义）。
∵AE=CE（已知），
在Rt△AEF和Rt△CEB中，
∠EAF+∠AFE=90°（直角三角形两锐角互余），
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△CDF中，∠FCD+∠CFD=90°（直角三角形两锐角互余），
∵∠AFE=∠CFD（对顶角相等），
∴∠EAF=∠FCD（等角的余角相等），即∠EAF=∠ECB。
∴△AEF≌△CEB（ASA）。
（2）由（1）知△AEF≌△CEB，
∴AF=BC（全等三角形对应边相等）。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是BC的中线（等腰三角形三线合一），
∴BC=2CD。
∴AF=BC=2CD，即AF=2CD。