《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

7. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$E$为边$AC$上一点，延长$AB$到点$F$，延长$BC$到点$D$，连结$DE$.$\angle 1$，$\angle 2$，$\angle 3$的大小关系为().

A.$\angle 2 ＞ \angle 1 ＞ \angle 3$
B.$\angle 1 ＞ \angle 3 ＞ \angle 2$
C.$\angle 1 ＞ \angle 2 = \angle 3$
D.$\angle 1 ＞ \angle 2 ＞ \angle 3$

答案： D

8. 如图所示，$\angle 1 = \angle C$，$\angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$.求证：$AD// EF$.

答案： 证明：
∵∠1=∠C（已知），
∴GD//AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠DAC（两直线平行，内错角相等）.
∵∠2+∠3=180°（已知），
∴∠DAC+∠3=180°（等量代换），
∴AD//EF（同旁内角互补，两直线平行）.

9. 如图所示，在$\triangle ACB$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$.
（1）求证：$\angle ACD = \angle B$.
（2）若$AF$平分$\angle CAB$分别交$CD$，$BC$于点$E$，$F$，求证：$\angle CEF = \angle CFE$.

答案： （1）证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B.
（2）证明：
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF.
∵∠CEF=∠CAF+∠ACD，∠CFE=∠BAF+∠B，
又
∵∠ACD=∠B（已证），
∴∠CEF=∠CFE.

10. 命题“若$a$是自然数，则代数式$(5a + 2)(5a + 1) + 3$的值是$5$的倍数”是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请给出证明.

答案： 真命题，证明如下：
将代数式展开：
$(5a + 2)(5a + 1) + 3$
$= 25a^{2} + 5a + 10a + 2 + 3$
$= 25a^{2} + 15a + 5$
$= 5(5a^{2} + 3a + 1)$
由于$a$是自然数，所以$5a^{2} + 3a + 1$也是整数。
因此，代数式$5(5a^{2} + 3a + 1)$是5的倍数。
所以，命题“若$a$是自然数，则代数式$(5a + 2)(5a + 1) + 3$的值是5的倍数”是真命题。