《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

11. 已知关于$x$的不等式$mx - 3＞2x + m$.
(1) 若它的解是$x＜\frac{m + 3}{m - 2}$，求$m$的取值范围.
(2) 若它的解与不等式$2x - 1＞3 - x$的解相同，求$m$的值.

答案：
(1)$m＜2$；
(2)$m=17$。

12. 已知关于$x$的不等式$2x + a\leqslant1$只有 2 个正整数解，求$a$的取值范围.

答案： 由 $2x + a \leqslant 1$，
可得$2x \leqslant 1 - a$，
进一步得到$x \leqslant \frac{1 - a}{2}$。
因为不等式只有2个正整数，
所以这两个正整数应该是1，2，
所以$2 \leqslant \frac{1 - a}{2} ＜ 3$，
其中，$ \frac{1 - a}{2} \geq 2$ 保证 $x = 1$ 和 $x = 2$ 是解，
而$ \frac{1 - a}{2} ＜ 3$ 保证 $x = 3$ 不是解。
解不等式组：
对 $2 \leqslant \frac{1 - a}{2}$，
可得$4 \leqslant 1 - a$，
即$a \leqslant -3$。
对 $\frac{1 - a}{2} ＜ 3$，
可得$1 - a ＜ 6$，
即$a ＞ -5$。
综合可得$-5 ＜ a \leqslant -3$中（考虑到$a$需要同时满足两个不等式），
经检验当$a = -5$时不符合条件，
所以$a$的取值范围是$-5 ＜ a \leqslant -3$。

13. 是否存在整数$m$，使关于$x$的不等式$1+\frac{3x}{m}＞\frac{x}{m}+\frac{9}{m}$与关于$x$的不等式$x + 1＞\frac{x - 2 + m}{3}$的解集相同？若存在，求出整数$m$和不等式的解集；若不存在，请说明理由.

答案： 存在整数$m$。
1. 解第一个不等式$1+\frac{3x}{m}＞\frac{x}{m}+\frac{9}{m}$：
化简得$\frac{2x}{m}＞\frac{9 - m}{m}$。
当$m＞0$时，两边同乘$m$得$2x＞9 - m$，解集为$x＞\frac{9 - m}{2}$。
当$m＜0$时，两边同乘$m$得$2x＜9 - m$，解集为$x＜\frac{9 - m}{2}$。
2. 解第二个不等式$x + 1＞\frac{x - 2 + m}{3}$：
两边同乘$3$得$3(x + 1)＞x - 2 + m$。
化简得$2x＞m - 5$，解集为$x＞\frac{m - 5}{2}$。
3. 要使解集相同，第二个不等式解集为$x＞\frac{m - 5}{2}$，故第一个不等式需为$x＞\frac{9 - m}{2}$（即$m＞0$）。则$\frac{9 - m}{2}=\frac{m - 5}{2}$，解得$m = 7$。
4. 验证：$m = 7＞0$，第一个不等式解集为$x＞\frac{9 - 7}{2}=1$，第二个不等式解集为$x＞\frac{7 - 5}{2}=1$，解集相同。
整数$m = 7$，不等式解集为$x＞1$。