《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

11. 如图所示，在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$P$是$\triangle ABC$内一点，且$PA = 1$，$PB = 3$，$PC=\sqrt{7}$，求$\angle CPA$的度数.

答案： 135°

12. 如图所示，$C$为线段$BD$上一动点，分别过点$B$，$D$作$AB\perp BD$，$ED\perp BD$，连结$AC$，$EC$.已知$AB = 4$，$DE = 2$，$BD = 8$，设$CD = x$.
(1) 用含$x$的代数式表示$AC + CE$的长.
(2) 观察图形，请问：在什么情况下，$AC + CE$的值最小，最小值是多少？试写出计算过程.
(3) 求代数式$\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(4 - x)^{2}+1}$的最小值.

答案：
(1)
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+(8 - x)^{2}}=\sqrt{16+(8 - x)^{2}}=\sqrt{x^{2}-16x + 80}$；
在$Rt\triangle CDE$中，根据勾股定理，$CE=\sqrt{DE^{2}+CD^{2}}=\sqrt{2^{2}+x^{2}}=\sqrt{x^{2}+4}$；
所以$AC + CE=\sqrt{x^{2}-16x + 80}+\sqrt{x^{2}+4}$。
(2)
当$A$，$C$，$E$在同一条直线上时，$AC + CE$的值最小。
过点$E$作$EF\perp AB$交$AB$的延长线于点$F$，则$BF = DE = 2$，$EF = BD = 8$。
在$Rt\triangle AEF$中，$AF=AB + BF=4 + 2 = 6$，$EF = 8$。
根据勾股定理，$AE=\sqrt{AF^{2}+EF^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
所以当$A$，$C$，$E$在同一条直线上时，$AC + CE$的值最小，最小值是$10$。
(3)
构造几何模型，设$AB = 2$，$DE = 1$，$BD = 4$，$CD=x$，$BC = 4 - x$。
$\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(4 - x)^{2}+1}$表示的长度意义是：过点$D$作$DE\perp BD$，使$DE = 1$，过点$B$作$AB\perp BD$，使$AB = 2$，连接$AE$交$BD$于点$C$时，$AC+CE$的值。
由（2）可知，当$A$，$C$，$E$共线时，$AC + CE$最小。
过点$E$作$EF// BD$交$AB$的延长线于$F$，则$BF = DE = 1$，$EF = BD = 4$，$AF=AB + BF=2 + 1 = 3$。
在$Rt\triangle AEF$中，根据勾股定理$AE=\sqrt{AF^{2}+EF^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
所以$\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(4 - x)^{2}+1}$的最小值是$5$。