《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

5. 求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（现已写出已知和求证，请你用两种方法加以证明）
已知：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，求证：$BC = \frac{1}{2}AB$.

答案： 证法一：
延长BC至点D，使CD=BC，连接AD。
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BD。
又
∵CD=BC，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°。
∵AB=AD，∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=BD。
∵BD=BC+CD=2BC，
∴AB=2BC，即BC=1/2AB。
证法二：
取AB的中点D，连接CD。
∵∠ACB=90°，D是AB中点，
∴CD=1/2AB=AD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°。
∵BD=CD，
∴∠BCD=∠ABC=60°（等边对等角），
∴△BCD是等边三角形（三个角都是60°的三角形是等边三角形），
∴BC=BD。
∵BD=1/2AB，
∴BC=1/2AB。

6. 如图所示，$AD$平分$\angle BAC$，$AD\perp BD$，垂足为$D$，$DE// AC$.
求证：$\triangle BDE$是等腰三角形.

答案： 证明：
∵DE//AC，
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（角平分线定义）．
∴∠2=∠3（等量代换）．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°（垂直定义）．
在Rt△ABD中，∠2+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）．
∵∠ADB=∠3+∠BDE=90°，
∴∠3+∠BDE=90°．
∵∠2=∠3，
∴∠B=∠BDE（等角的余角相等）．
在△BDE中，∠B=∠BDE，
∴BE=DE（等角对等边）．
∴△BDE是等腰三角形．

7. 若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为$5$和$6$，则它的面积为.

答案： $30$

8. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$是边$BC$上的一点，且$AD = 2CD$，则$\angle ADB$的度数为.

答案： 120°

9. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$EF$为$AB$的垂直平分线，交$AB$于点$E$，交$BC$于点$F$.若$BF = 5$，则$FC$的长为.

答案： 10

10. 如图所示，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的中线，$DE\perp AB$于点$D$，交$AC$于点$E$.
求证：$\angle AED = \angle DCB$.

答案：
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的中线，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=BD$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴$\angle DCB=\angle B$（等边对等角）。
∵$DE\perp AB$，
∴$\angle ADE = 90^{\circ}$，
在$Rt\triangle ADE$中，$\angle AED+\angle A=90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），
∴$\angle AED=90^{\circ}-\angle A$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B=90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），
∴$\angle B=90^{\circ}-\angle A$。
∴$\angle AED=\angle B$，又
∵$\angle DCB=\angle B$，
∴$\angle AED=\angle DCB$。