《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

4. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=45^{\circ}$，$F$是高线$AD$和$BE$的交点，$CD=4$，则线段$DF$的长为.

答案： 4

5. 如图所示，$\angle A=\angle D=90^{\circ}$，$AC=DB$，$AC$，$DB$相交于点$O$.
求证：$OB=OC$.

答案： 证明：
因为$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$AC = DB$，$BC$为公共边（即$BC=CB$）。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$中：
$\begin{cases}AC = DB\\BC = CB\end{cases}$
根据“$HL$”定理，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DCB$。
所以$\angle ACB=\angle DBC$。
在$\triangle BOC$中，因为$\angle OBC=\angle OCB$，所以$OB = OC$。

6. 如图所示，已知在$\triangle ABC$中，$AQ=PQ$，$PR=PS$，$PR\perp AB$于点$R$，$PS\perp AC$于点$S$，有下列三个结论：①$AS=AR$；②$QP// AR$；③$\triangle BRP≌\triangle CQP$. 其中正确的是().


A.全部正确
B.仅①和②正确
C.仅①正确
D.仅①和③正确

答案： B

7. 如图所示，$\angle ABC$的平分线与$\angle ACB$的外角平分线相交于点$D$，连结$AD$.
求证：$AD$是$\angle BAC$的外角平分线.

答案： 过点$D$分别作$DE \perp AB$于$E$，$DF \perp AC$于$F$，$DG \perp BC$于$G$。
∵$BD$平分$\angle ABC$，$DE \perp AB$，$DG \perp BC$，
∴$DE = DG$（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵$CD$平分$\angle ACB$的外角（设外角为$\angle ACH$，$H$在$BC$延长线上），$DF \perp AC$，$DG \perp BC$（即$DG \perp CH$），
∴$DF = DG$（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∴$DE = DF$。
∵$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，且$DE = DF$，
∴点$D$在$\angle BAC$外角的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
故$AD$是$\angle BAC$的外角平分线。