《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

11. 如图所示，在四边形$ABCD$中，$\angle BCD = \angle BAD = 90^{\circ}$，$E$，$F$分别是对角线$BD$，$AC$的中点.
（1）请判断线段$EF$与$AC$的位置关系，并说明理由.
（2）若$\angle ADC = 45^{\circ}$，请判断$EF$与$AC$的数量关系，并说明理由.

答案： （1）EF⊥AC。理由如下：
连接AE，CE。
∵∠BAD=90°，E是BD中点，
∴AE=1/2BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）。
同理，∠BCD=90°，
∴CE=1/2BD。
∴AE=CE。
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）。
（2）EF=1/2AC。理由如下：
由（1）知AE=CE=1/2BD，∠AEC=∠AEB+∠CEB。
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA=α，∠AEB=180°-2∠ABE=2α。
∵CE=DE，∠ADC=45°，设∠EDC=β，则α+β=45°，∠ECD=β，∠CEB=180°-2∠CBE=90°-2β。
∴∠AEC=2α+90°-2β=90°+2(α-β)=90°（
∵α+β=45°，α-β=45°-2β，代入得90°）。
∴△AEC是等腰直角三角形，F为AC中点，
∴EF=1/2AC（等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）。

1. 三角形一边上的中线平分，同时也平分三角形的面积。

答案： 这条边

2. 三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是三角形。

答案： 直角

3. 两个角的三角形是直角三角形。

答案： 互余