《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

8. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，$D$是$AB$边上一点（点$D$与点$A$，$B$不重合），连结$CD$，将线段$CD$绕点$C$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到线段$CE$，连结$DE$交$BC$于点$F$，连结$BE$. 请回答下列问题：
（1）求证：$\triangle ACD≌\triangle BCE$.
（2）当$AD=BF$时，求$\angle BEF$的度数.

答案： （1）证明：
由于线段$CE$是由线段$CD$绕点$C$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到的，
所以，$CD = CE$，
得到$\angle ACD = \angle BCE$（因为$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$），
已知$AC = BC$，
根据三角形全等的判定方法SAS，在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中，
$\begin{cases}AC = BC, \\\angle ACD = \angle BCE, \\CD = CE.\end{cases}$
所以，$\triangle ACD \cong \triangle BCE（SAS）$。
（2）
由（1）知，$\triangle ACD \cong \triangle BCE$，
所以，$\angle CBE = \angle CAD = 45^{\circ}$，
因为，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，
所以，$\angle CAD = \angle CBA = 45^{\circ}$，
由于$AD = BF$，
根据全等三角形的性质，$AD=BE$，
所以$BE= BF$，
在三角形BEF中，
$\angle BEF = \angle BFE= \frac{180^{\circ}-\angle CBE }{2} =\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}{2} = 67.5^{\circ}$，
综上所述$\angle BEF$的度数为$ 67.5^{\circ}$。

9. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AD$是$\angle CAB$的平分线，$DE\perp AB$于点$E$，点$F$在边$AC$上，连结$DF$.
（1）求证：$AC=AE$.
（2）若$DF=DB$，则$\angle B$与$\angle AFD$之间有何数量关系？请说明理由.
（3）在（2）的条件下，若$AB=m$，$AF=n$，求$BE$的长.（用含$m$，$n$的代数式表示）

答案： （1）证明：
∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED=90°，DC=DE（角平分线性质）。
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CAD=∠EAD \\ ∠C=∠AED \\ AD=AD \end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE。
（2）∠AFD+∠B=180°。理由如下：
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠DEB=90°。
由（1）知DC=DE，又DF=DB，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴∠DFC=∠B。
∵点F在AC上，
∴∠AFD+∠DFC=180°，
∴∠AFD+∠B=180°。
（3）设BE=x，
∵AB=m，
∴AE=AB-BE=m-x。
由（1）知AC=AE=m-x。
∵AF=n，
∴FC=AC-AF=(m-x)-n。
由（2）中Rt△DCF≌Rt△DEB，得FC=BE，
∴(m-x)-n=x，解得x=$\frac{m-n}{2}$，
∴BE=$\frac{m-n}{2}$。