《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

8. 如图所示，$O$为等边三角形$ABC$内一点，$\angle AOB = 110^{\circ},\angle BOC = \alpha$.以$OC$为一边作等边三角形$OCD$，连结$AD$.
（1）当$\alpha = 150^{\circ}$时，试判断$\triangle AOD$的形状，并说明理由.
（2）探究：当$\alpha$为多少度时，$\triangle AOD$是等腰三角形？

答案： （1）△AOD是直角三角形。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°。
∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，∠OCD=60°。
∴∠ACB=∠OCD，
∴∠ACB-∠ACO=∠OCD-∠ACO，即∠BCO=∠ACD。
在△BOC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l} BC=AC \\ ∠BCO=∠ACD \\ OC=CD\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△ADC（SAS）。
∴∠ADC=∠BOC=α=150°。
∵△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=60°。
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°。
∴△AOD是直角三角形。
（2）α=110°或125°或140°。
理由如下：
由（1）知△BOC≌△ADC，
∴AD=BO，∠ADC=∠BOC=α。
∵∠AOB=110°，∠BOC=α，
∴∠AOC=360°-110°-α=250°-α。
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，∠CDO=60°。
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=250°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°。
在△AOD中，∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°。
△AOD为等腰三角形分三种情况：
①若OA=OD，则∠OAD=∠ADO，即50°=α-60°，解得α=110°；
②若AO=AD，则∠AOD=∠ADO，即190°-α=α-60°，解得α=125°；
③若AD=OD，则∠OAD=∠AOD，即50°=190°-α，解得α=140°。
综上，α=110°或125°或140°。

1. 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作.

答案： 互为逆命题

2. 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就把它叫作原定理的，这两个定理叫作互逆定理.

答案： 逆定理

1. 命题“若 $a ＞ b$，则 $a^{2} ＞ b^{2}$”的逆命题是().

A.若 $a ＞ b$，则 $a^{2} \leq b^{2}$
B.若 $a ＜ b$，则 $a^{2} ＞ b^{2}$
C.若 $a^{2} ＞ b^{2}$，则 $a ＞ b$
D.若 $a^{2} ＞ b^{2}$，则 $a \leq b$

答案： C