《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

11. 探究问题：
（1）如图甲所示，在$\triangle ABC$中，$BP$平分$\angle ABC$，$CP$平分$\angle ACB$. 求证：$\angle P = 90° + \frac{1}{2}\angle A$.
（2）如图乙所示，在$\triangle ABC$中，$BP$平分$\angle ABC$，$CP$平分$\angle ACE$. 猜想$\angle P$和$\angle A$满足何种等量关系，并证明你的结论.
（3）如图丙所示，$BP$平分$\angle CBF$，$CP$平分$\angle BCE$. 猜想$\angle P$和$\angle A$满足何种等量关系，请直接写出结论.

答案： （1）证明：
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=1/2∠ABC，∠PCB=1/2∠ACB。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠PBC+∠PCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2(180°-∠A)=90°-1/2∠A。
在△PBC中，∠P+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°-1/2∠A)=90°+1/2∠A。
（2）结论：∠P=1/2∠A。
证明：
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=1/2∠ABC。
∵CP平分∠ACE，∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠PCE=1/2∠ACE=1/2(∠A+∠ABC)。
∵∠PCE是△PBC的外角，
∴∠PCE=∠P+∠PBC，
∴∠P=∠PCE-∠PBC=1/2(∠A+∠ABC)-1/2∠ABC=1/2∠A。
（3）∠P=90°-1/2∠A。

1. 能够的两个图形称为全等图形，能够重合的两个三角形叫作.

答案： 完全重合，全等三角形

2. 全等三角形的边相等，角相等.

答案： 对应；对应