《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

11. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线$l：y = x$是第一、三象限的角平分线.
【实验与探究】由图易知$A(0,2)$关于直线$l$的对称点$A'$的坐标为$(2,0)$，请在图中分别标明$B(5,3),C(-2,5)$关于直线$l$的对称点$B',C'$的位置，并写出它们的坐标：$B'$，$C'$.
【归纳与发现】结合图形观察以上三组点的坐标，会发现：坐标平面内任一点$P(m,n)$关于第一、三象限的角平分线$l$的对称点$P'$的坐标为.

答案： (3,5);(5,-2);(n,m)

12. 已知两点$A(1,2),B(5,1)$，请回答下列问题：
(1) $P$是$x$轴上的一点，求$PA + PB$的最小值.
(2) $C$是$y$轴上的一点，求$\triangle ABC$的周长的最小值.

答案：
(1)
作$A$关于$x$轴的对称点$A^{\prime}(1, - 2)$，连接$A^{\prime}B$，与$x$轴交于点$P$，此时$PA + PB$最小。
由两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$A^{\prime}(1,-2)$，$B(5,1)$，则$A^{\prime}B=\sqrt{(5 - 1)^2+(1 + 2)^2}=\sqrt{16 + 9}=5$。
所以$PA + PB$的最小值为$5$。
(2)
作$A$关于$y$轴的对称点$A^{\prime\prime}(-1,2)$，连接$A^{\prime\prime}B$，与$y$轴交于点$C$，此时$\triangle ABC$周长最小。
$AB=\sqrt{(5 - 1)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{16 + 1}=\sqrt{17}$，$A^{\prime\prime}B=\sqrt{(5 + 1)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$。
$\triangle ABC$周长的最小值为$AB + A^{\prime\prime}B=\sqrt{17}+\sqrt{37}$。