《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

2. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$BC = 4$，$\angle BAC ＞ 90^{\circ}$. $AB$的垂直平分线交$BC$于点$E$，$AC$的垂直平分线交$BC$于点$F$，则$\triangle AEF$的周长为().

A.$2$
B.$1$
C.$4$
D.$3$

答案： C

3. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$BD$平分$\angle ABC$，$BC$的垂直平分线交$BC$于点$E$，交$BD$于点$F$，连结$CF$. 若$\angle A = 50^{\circ}$，$\angle ABD = 30^{\circ}$，则$\angle ACF$的度数为().

A.$20^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

答案： C

4. 如图所示，$A$，$B$，$C$表示三个居民小区，为丰富居民的文化生活，现准备建一个文化礼堂，文化礼堂到三个小区的距离相等，则文化广场应建在().

A.$AC$，$BC$两边高线的交点处
B.$AC$，$BC$两边中线的交点处
C.$AC$，$BC$两边垂直平分线的交点处
D.$\angle A$，$\angle B$两内角平分线的交点处

答案： C

5. 已知：如图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 105^{\circ}$，边$AC$的垂直平分线$DE$与$AC$，$AB$分别交于点$D$和点$E$.
（1）作出边$AC$的垂直平分线$DE$.
（2）当$AE = BC$时，求$\angle A$的度数.

答案： （1）分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交AC于点D，交AB于点E，直线DE即为所求。
（2）设$\angle A = x$。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴$EA = EC$（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴$\angle ACE = \angle A = x$。
∵$AE = BC$，
∴$EC = BC$，
∴$\angle B = \angle CEB$（等边对等角）。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 105°$，
∴$\angle ECB = \angle ACB - \angle ACE = 105° - x$。
在$\triangle ECB$中，$\angle B + \angle CEB + \angle ECB = 180°$，又$\angle B = \angle CEB$，
∴$2\angle B + (105° - x) = 180°$，即$\angle B = \frac{75° + x}{2}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180°$，
∴$x + \angle B + 105° = 180°$，即$\angle B = 75° - x$。
联立得$\frac{75° + x}{2} = 75° - x$，解得$x = 25°$。
∴$\angle A = 25°$。
结论：$\angle A$的度数为$25°$。