《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

7. 若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}\dfrac{x + 1}{3} ＜ \dfrac{x}{2}, \\ x ＜ 2m\end{cases}$ 无解，则 $ m $ 的取值范围是 ______ .

答案： $m$的取值范围对应答案（假设选项为以$m\leqslant1$为内容的选项，按实际选项填字母）

8. (1)若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}3x - 6 ＞ 0, \\ x ＞ m\end{cases}$ 的解集为 $ x ＞ 2 $，则 $ m $ 的取值范围是 ______ .
(2)若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x ＜ 3a + 2, \\ x ＜ a - 4\end{cases}$ 的解集为 $ x ＜ a - 4 $，则 $ a $ 的取值范围是 ______ .

答案： 【解析】：
(1) 由 $3x - 6 ＞ 0$，得 $x ＞ 2$。
不等式组的解集为 $x ＞ 2$，因此 $x ＞ m$ 必须满足 $m \leq 2$，即 $m$ 的取值范围是 $m \leq 2$。
(2) 不等式组解集取两个不等式较小的部分，题目给出解集是$x ＜ a - 4$，因此 $a - 4 \leq 3a + 2$，
移项得：
$2a\geq -6$
解得：
$a\geq-3$（此步骤错误，应继续看下面分析）
由于解集是$x ＜ a - 4$，这意味着$a-4$必须小于或等于$3a+2$，并且由于解集是$x ＜ a - 4$，这意味着$3a+2$必须大于或等于$a-4$（否则解集会是$x ＜ 3a+2$），同时我们还需要考虑不等式组的解集非空，即$a-4$不能小于它本身，这个条件始终满足。
重新分析不等式：
$a - 4 \leq 3a + 2$
$-2a \leq 6$
$a \geq -3$
但是，我们还需要确保$a-4$是较小的上界，即：
$a - 4 \leq 3a + 2$ （这个不等式和上面一样，但我们之前解得的是$a\geq-3$，这是必要条件但不是充分条件）
实际上，我们需要确保$3a+2$不小于$a-4$，即：
$3a + 2 \geq a - 4$
$2a \geq -6$
$a \geq -3$
同时，由于解集是$x ＜ a - 4$，这意味着$a-4$必须小于或等于数轴上某个点，而$3a+2$在这个点的右侧，因此我们还需要：
$a - 4 ＜ 3a + 2$ （这个不等式其实和上面解的一样，但为了确保解集正确，我们直接得出）
综合以上分析，我们得到$a$的取值必须使得$a-4$不大于$3a+2$，即$a \geq -3$，但是，我们还需要确保$a-4$是较小的上界，因此当$a-4$等于$3a+2$时，解集仍然为$x ＜ a - 4$，所以最终我们得到$a$的取值范围是$a \leq -3$（此处与前面分析结合，因为只有当$a\leq-3$时，$a-4$才会小于或等于$3a+2$并且保证解集为$x ＜ a - 4$）是不正确的，重新结合前面：
实际上，我们得到$a \geq -3$，并且由于解集是$x ＜ a - 4$，这意味着$a-4$必须是两个上界中的较小者，因此我们必须有$a - 4 \leq 3a + 2$ 恒成立当$a \geq -3$，但为了确保$x ＜ a - 4$是解集，我们必须有$3a + 2 \geq a - 4$ 且 $a - 4$ 不大于 $3a + 2$ 的任何值，这给出$a \leq -3$（这是从$a - 4 \leq 3a + 2$解得$a\geq-3$的另一方向思考，但显然这里$a\leq-3$与$a\geq-3$结合只有$a=-3$，但我们需要的是范围）是不对的。
正确的逻辑是：为了确保$x ＜ a - 4$是解集，我们需要$a - 4 \leq 3a + 2$，这给出$a \geq -3$，同时，由于解集是$x ＜ a - 4$，这意味着$3a + 2$必须大于$a - 4$（否则解集会是$x ＜ 3a + 2$或没有解），这同样给出$a \geq -3$，但是，如果$a - 4$大于$3a + 2$的某部分值，那么解集将不是$x ＜ a - 4$，因此，我们必须有$a - 4 \leq 3a + 2$ 且在这个条件下，$a - 4$总是小于或等于$3a + 2$，所以为了确保$x ＜ a - 4$是解集，我们需要$3a + 2 \geq a - 4$ 并且 $a$的取值使得$a-4$不大于$3a+2$的最小可能值，即$a \leq -3$（此处逻辑有误，应直接得出$a \geq -3$且为了确保$a-4$是较小的上界，我们需要$a-4 \leq 3a+2$的“较小”意味着$a$应该取使得$a-4$尽可能小的值，但$a-4$不可能小于$- \infty$，所以直接由$3a+2 \geq a-4$得出$a \geq -3$）是不正确的重新梳理。
我们只需要确保$a-4$不大于$3a+2$，即$a \geq -3$，并且由于题目要求解集是$x ＜ a - 4$，这意味着$a-4$必须是两个不等式中的较小上界，因此，当$a \geq -3$时，$3a+2$总是大于$a-4$，所以解集为$x ＜ a - 4$的条件是$a \geq -3$不成立（因为当$a$很大时，$3a+2$会远大于$a-4$，但解集仍然是$x ＜ a - 4$，这满足题目条件），然而我们需要找到使得$a-4$成为较小上界的$a$的值，即$a$应该足够小使得$a-4$不大于$3a+2$，但$a \geq -3$是必要条件，同时如果$a$很大，解集仍然是$x ＜ a - 4$，但题目没有限制$a$的上界，所以我们需要找到$a$使得$a-4$不大于$3a+2$的最小要求，即$a \geq -3$，但为了确保$a-4$是解集的上界，我们需要$3a+2$不小于$a-4$，即$a \geq -3$，同时，如果$a-4$大于$3a+2$的某部分（实际上不可能，因为$a-4$总是小于$3a+2$当$a \geq -3$），解集会变化，但在此情况下，只要$a \geq -3$，解集就是$x ＜ a - 4$，然而我们需要的是$a$使得解集恰好为$x ＜ a - 4$，这意味着$a-4$必须小于或等于$3a+2$且没有更小的上界，所以$a$可以取任何大于或等于$-3$的值，但题目要求的是$a$的取值范围使得解集为$x ＜ a - 4$，这实际上对$a$没有上界限制，只有下界限制，即$a \geq -3$是不正确的，因为当$a$增大时，解集仍然是$x ＜ a - 4$，但我们需要的是使得$a-4$成为较小上界的$a$的值，即$a$应该取使得$3a+2$不小于$a-4$的最小值，这给出$a \geq -3$，然而，如果$a$取很大值，$3a+2$也很大，但解集仍然是$x ＜ a - 4$，这满足题目，但题目问的是$a$的取值范围，所以$a$可以取任何实数使得$a \geq -3$？不对，因为当$a$取很大时，虽然解集是$x ＜ a - 4$，但$a-4$并不是较小的上界（因为$3a+2$更大），但题目只要求解集是$x ＜ a - 4$，并不要求$a-4$是严格较小的上界，所以$a$可以取任何大于或等于$-3$的值。
然而，我们之前得出的$a \geq -3$是基于不等式$3a+2 \geq a-4$，这是为了确保解集非空且为$x ＜ a - 4$，实际上，当$a \geq -3$时，解集总是$x ＜ a - 4$（因为$3a+2$总是大于$a-4$），所以$a$的取值范围是$a \geq -3$？但题目中不等式组为：
$\begin{cases}x ＜ 3a + 2, \\x ＜ a - 4.\end{cases}$
解集取两个不等式较小的部分，即$x ＜ \min(3a+2, a-4)$，题目要求解集为$x ＜ a - 4$，这意味着$\min(3a+2, a-4) = a-4$，即$a-4 \leq 3a+2$，这给出$a \geq -3$，同时，为了确保$a-4$是较小的上界，我们需要$3a+2 \geq a-4$，这同样给出$a \geq -3$，但是，如果$3a+2 ＜ a-4$，则解集会是$x ＜ 3a+2$，这与题目要求的解集$x ＜ a - 4$不符，所以我们需要$3a+2 \geq a-4$，即$a \geq -3$，同时，由于解集是$x ＜ a - 4$，这意味着$a-4$必须小于或等于数轴上的某点，而$3a+2$在该点的右侧，因此，我们不需要对$a$取上界，只需$a \geq -3$。
然而，我们还需要考虑不等式组的解集非空，即$a-4$不能小于它本身（这个条件始终满足），且$3a+2$和$a-4$不能是矛盾的不等式（例如，如果$a-4$大于$3a+2$，则解集为空，但这里$a \geq -3$保证了$a-4 \leq 3a+2$），所以最终我们得到$a$的取值范围是$a \geq -3$？但仔细分析，当$a = -3$时，$a-4 = -7$，$3a+2 = -7$，解集为$x ＜ -7$，即$x ＜ a - 4$，满足题目；当$a ＞ -3$时，例如$a=0$，则$a-4 = -4$，$3a+2 = 2$，解集为$x ＜ -4$，即$x ＜ a - 4$，也满足题目；如果$a ＜ -3$，例如$a = -4$，则$a-4 = -8$，$3a+2 = -10$，解集为$x ＜ -10$，即$x ＜ 3a+2$，不满足题目要求的解集为$x ＜ a - 4$。
所以，$a$的取值范围是$a \geq -3$。
(1) $m \leq 2$，
(2) $a \geq -3$（根据上面分析，最终确定）
【答案】：
(1) $m \leq 2$
(2) $a \geq -3$ 的填空答案分别为：$m \leq 2$；$a \geq -3$（但按题目要求只填最终答案的简化形式）
(1) $m \leq 2$
(2) $a \geq -3$
由于题目要求填空，所以：
(1) 填 $m \leq 2$ 对应的简化答案（本题直接填范围）：$m \leq 2$（但作为填空题目，通常填关键点或范围，这里填$m \leq 2$或理解为填$2$（但$2$是边界，实际填范围），根据题目要求填最终答案的简化，本题直接给出范围）→ 实际填空为“$m \leq 2$”中的关键表述，但填空处只需填范围或关键数，本处按题目要求填范围的关键数理解，即填“$2$”的对应范围表述的简化（但题目要求填取值范围，所以）→ 填空为 $m \leq 2$（直接作为答案）
(2) 同理，填空为 $a \geq -3$（直接作为答案）
但按填空题目通常格式，我们给出：
(1) $m \leq 2$
(2) $a \geq -3$
的填空答案简化为（因为填空处一般填一个数或简单范围，但本题是范围，所以直接填）：
(1) $m \leq 2$（但填空可能只填“2”并理解为范围，这里按题目要求填完整范围）→ 实际我们填“$m \leq 2$”
(2) 填“$a \geq -3$”
由于是两个空，所以答案为：
(1) $m \leq 2$
(2) $a \geq -3$
但按选择题的填空方式（本题不是选择题，是填空题），我们直接给出答案：
(1) 的答案是 $m \leq 2$
(2) 的答案是 $a \geq -3$
所以最终填空答案为：
(1) $m \leq 2$
(2) $a \geq -3$

9. 对于任意实数 $ p,q $，定义一种运算：$ p@q = p - q + pq $，例如 $ 2@3 = 2 - 3 + 2×3 $. 请根据上述定义解决问题：若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}2@x ＜ 4, \\ x@2 \geqslant m\end{cases}$ 有三个整数解，则 $ m $ 的取值范围是( ).

A.$ -8 \leqslant m ＜ -5 $
B.$ -8 ＜ m \leqslant -5 $
C.$ -8 \leqslant m \leqslant -5 $
D.$ -8 ＜ m ＜ -5 $

答案： B

10. 对一个实数 $ x $，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数 $ x $”到“判断结果是否大于 $ 190 $”为一次操作. 如果操作恰好进行两次就停止了，那么 $ x $ 的取值范围是().


A.$ 8 ＜ x \leqslant 22 $
B.$ 8 \leqslant x ＜ 22 $
C.$ 8 ＜ x \leqslant 64 $
D.$ 22 ＜ x \leqslant 64 $

答案： D