《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

11. 如果三角形一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“美好三角形”.
(1) 若等边三角形 $ABC$ 的边长为 2，则$\triangle ABC$ 是“美好三角形”吗？请说明理由.
(2) 已知 $Rt\triangle ABC$ 是“美好三角形”，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 2\sqrt{3}$，求 $BC$ 的长.

答案：
(1)
等边三角形$ABC$边$AB$（$AB = 2$）上的中线$CM$，根据等边三角形三线合一性质，$M$为$AB$中点，$AM=\frac{1}{2}AB = 1$，$AC = 2$，在$Rt\triangle ACM$中，根据勾股定理$CM=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}\neq2$，若考虑中线等于边，比如取$AB$边中线，中线长不等于边长，所以$\triangle ABC$不是“美好三角形”。
(2)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 2\sqrt{3}$，设$BC=x$。
情况一：若斜边$AB$上的中线$CM$等于$AB$的长。
因为直角三角形斜边中线等于斜边的一半，设$AB = y$，则$CM=\frac{1}{2}y=y$，得$y = 0$（舍去）。
情况二：若直角边$AC$上的中线$BN$等于$AC$的长。
因为$N$为$AC$中点，所以$AN=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，在$Rt\triangle BCN$中，$BN = AC=2\sqrt{3}$，$CN=\sqrt{3}$，根据勾股定理$BC=\sqrt{BN^{2}-CN^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=3$。
情况三：若直角边$BC$上的中线$AM$等于$BC$的长。
设$BC=x$，则$BM=\frac{1}{2}x$，在$Rt\triangle ACM$中，$AM = BC=x$，$AC = 2\sqrt{3}$，$CM=\frac{1}{2}x$，根据勾股定理$AC^{2}+CM^{2}=AM^{2}$，即$(2\sqrt{3})^{2}+(\frac{1}{2}x)^{2}=x^{2}$，$12+\frac{1}{4}x^{2}=x^{2}$，$\frac{3}{4}x^{2}=12$，$x^{2}=16$，解得$x = 4$。
综上，$BC$的长为$3$或$4$。