《2025年单元学习指导与练习八年级数学上册浙教版》

8. 如图所示，已知在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$，$E$ 分别在边 $AB$，$AC$ 上，且 $AD = AE$，连结 $BE$，$CD$，交于点 $F$.
(1) 判断 $\angle ABE$ 与 $\angle ACD$ 的数量关系，并说明理由.
(2) 求证：过点 $A$，$F$ 的直线垂直平分线段 $BC$.

答案：
(1) ∠ABE = ∠ACD。理由如下：
在△ABE和△ACD中，
∵AB = AC，∠A = ∠A，AD = AE，
∴△ABE ≌ △ACD（SAS），
∴∠ABE = ∠ACD。
(2) 证明：
∵AB = AC，
∴点A在BC的垂直平分线上。
∵∠ABC = ∠ACB（AB = AC），∠ABE = ∠ACD（已证），
∴∠ABC - ∠ABE = ∠ACB - ∠ACD，即∠FBC = ∠FCB，
∴FB = FC，
∴点F在BC的垂直平分线上。
∵点A、F都在BC的垂直平分线上，
∴直线AF垂直平分BC。

9. 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，边 $AB$，$AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于点 $D$，$E$，直线 $DM$，$EN$ 相交于点 $O$.
(1) 试判断点 $O$ 是否在 $BC$ 的垂直平分线上，并说明理由.
(2) 若 $\angle BAC = 100^{\circ}$，求 $\angle MON$ 的度数.

答案：
(1) 点O在BC的垂直平分线上。理由：
∵DM是AB的垂直平分线，O在DM上，
∴OA=OB。
∵EN是AC的垂直平分线，O在EN上，
∴OA=OC。
∴OB=OC。
∴点O在BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
(2)
∵DM⊥AB，EN⊥AC，
∴∠OMA=∠ONA=90°。在四边形AMON中，∠MON=360°-∠BAC-∠OMA-∠ONA=360°-100°-90°-90°=80°。即∠MON=80°。

10. 已知命题：$P$ 为等边三角形 $ABC$ 内一点，若点 $P$ 到三边的距离相等，则 $PA = PB = PC$.
(1) 写出它的逆命题，并判断其逆命题是否成立. 若成立，请给出证明.
(2) 进一步证明：点 $P$ 到等边三角形 $ABC$ 各边的距离之和为定值.

答案：
(1) 逆命题：P为等边三角形ABC内一点，若PA=PB=PC，则点P到三边的距离相等。成立。
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥CA于F。
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上；同理，PB=PC⇒P在BC的垂直平分线上，PA=PC⇒P在AC的垂直平分线上。
∵△ABC是等边三角形，其三边的垂直平分线与各内角的平分线重合，
∴点P在∠A、∠B、∠C的平分线上。
∵角平分线上的点到角两边距离相等，
∴PD=PF（P在∠A平分线上），PD=PE（P在∠B平分线上），
∴PD=PE=PF，即点P到三边的距离相等。
(2) 证明：设等边△ABC的边长为a，高为h，点P到AB、BC、CA的距离分别为d₁、d₂、d₃。连接PA、PB、PC。
∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PCA，
且S△PAB=1/2·AB·d₁，S△PBC=1/2·BC·d₂，S△PCA=1/2·CA·d₃，AB=BC=CA=a，
∴S△ABC=1/2·a(d₁+d₂+d₃)。
又S△ABC=1/2·a·h，
∴1/2·a(d₁+d₂+d₃)=1/2·a·h，故d₁+d₂+d₃=h（定值）。