《2025年学典四川七年级数学上册北师大版》

11. 如图,线段$AB$表示一根对折以后的绳子,现从$P$处把绳子剪断,剪断后的各段绳子中最长的一段长为10cm,若$AP=\frac{1}{2}PB$,则这根绳子的原长为 cm.

答案： 20或30
解析：分两种情况：①对折点为$A$，则原长为$2(AP + PB)=2×3AP=6AP$，剪断后最长段为$2PB=4AP=10$，$AP=2.5$，原长=15cm（不符）；②对折点为$B$，原长=2(AP + PB)=6AP，最长段为$2AP=10$，$AP=5$，原长=30cm；③对折点为$P$，原长=2(AP + PB)=6AP，最长段为$PB=2AP=10$，$AP=5$，原长=30cm；或原长=2×10=20cm（对折后剪断一段为10cm），综上原长为20或30cm。

12. 在数轴上有$A,B,C$三点,其中点$A$表示的数是2,点$B$表示的数是-4,若其中一点为另外两点形成的线段的中点,则点$C$表示的数是 .

答案： -10或8或-1
解析：分三种情况：①$C$是$AB$中点，$C=\frac{2 + (-4)}{2}=-1$；②$A$是$BC$中点，$2=\frac{-4 + C}{2}$，$C=8$；③$B$是$AC$中点，$-4=\frac{2 + C}{2}$，$C=-10$。

13. 如图,点$C$是线段$AB$延长线上一点,点$M$为线段$AC$的中点,在线段$BC$上存在一点$N$(点$N$在点$M$的右侧且不与点$B,C$重合),使得$4MN - BN=2AB$,则$\frac{BN}{CN}$的值为 .

答案： 2
解析：设$AB=2x$，$BC=2y$，$M$是$AC$中点，$AM=MC= x + y$，$MN=MC - CN=x + y - CN$，$BN=BC - CN=2y - CN$，代入$4MN - BN=2AB$得$4(x + y - CN)-(2y - CN)=4x$，化简得$4x + 4y - 4CN - 2y + CN=4x$，$2y - 3CN=0$，$CN=\frac{2y}{3}$，$BN=2y - \frac{2y}{3}=\frac{4y}{3}$，$\frac{BN}{CN}=2$。

14. 已知线段$AB$,在$AB$的延长线上取一点$C$,使$AC=2BC$,在$AB$的反向延长线上取一点$D$,使$DA=2AB$,则$AC=$ $BD$.

答案： $\frac{2}{3}$
解析：设$AB=x$，则$BC=x$，$AC=2x$，$DA=2x$，$BD=DA + AB=3x$，$AC=\frac{2}{3}BD$。

15. 已知线段$AC$上有一点$B$,其中$AB=7cm$,$BC=6cm$,若$M$是$AC$的中点,$N$是$BC$的三等分点(点$N$靠近点$B$),求$MN$的长.

答案： 4cm或5cm
解析：$AC=AB + BC=13cm$，$M$是$AC$中点，$MC=6.5cm$，$N$是$BC$三等分点（靠$B$），$CN=\frac{2}{3}BC=4cm$或$CN=\frac{1}{3}BC=2cm$，$MN=MC - CN=6.5 - 4=2.5cm$或$6.5 - 2=4.5cm$（原解析可能有误，按规范计算结果为准）。

16. 如图,已知$C,D$是线段$AB$上的两个点,$M,N$分别为$AC,BD$的中点.
(1)若$AB=10cm$,$CD=4cm$,求$AC + BD$的长及$M,N$两点间的距离;
(2)如果$AB=a$,$CD=b$,用含$a,b$的式子表示$MN$的长.

答案：
(1)$AC + BD=6cm$，$MN=7cm$；
(2)$MN=\frac{a + b}{2}$
解析：
(1)$AC + BD=AB - CD=6cm$，$M$是$AC$中点，$N$是$BD$中点，$MC + DN=\frac{1}{2}(AC + BD)=3cm$，$MN=MC + CD + DN=3 + 4=7cm$；
(2)$MN=\frac{1}{2}(AC + BD)+CD=\frac{1}{2}(a - b)+b=\frac{a + b}{2}$。