《2025年学典四川七年级数学上册北师大版》

8. 已知方程3(x-1)=4x-5与关于x的方程$\frac{2x-a}{3}-\frac{x-a}{2}=x-1$有相同的解，求a的值.

答案： a=1
解方程$3(x-1)=4x-5$，得$3x-3=4x-5$，$x=2$，
把$x=2$代入$\frac{2x-a}{3}-\frac{x-a}{2}=x-1$，得$\frac{4-a}{3}-\frac{2-a}{2}=1$，
去分母得$2(4-a)-3(2-a)=6$，$8-2a-6 + 3a=6$，$a + 2=6$，$a=4$。

9. 已知等式|a-3|+(b+1)²=0成立，代数式$\frac{2b-a+m}{2}$的值比$\frac{1}{2}b-a+m$的值多1，求m的值.

答案： m=0
由题意得$a-3=0$，$b + 1=0$，$a=3$，$b=-1$，
$\frac{2×(-1)-3 + m}{2}-(\frac{1}{2}×(-1)-3 + m)=1$，
$\frac{-5 + m}{2}-(-\frac{7}{2}+m)=1$，$\frac{-5 + m + 7-2m}{2}=1$，$\frac{2-m}{2}=1$，$2-m=2$，$m=0$。

B组 能力提升
一、填空题
10. 按如图所示的程序进行计算，若经过三次输入，最后输出的数是10，则最初输入的数是______.

答案： $\frac{19}{64}$
设最初输入的数为$x$，
第一次输出$4x-6$，
第二次输出$4(4x-6)-6=16x-30$，
第三次输出$4(16x-30)-6=64x-126=10$，$64x=136$，$x=\frac{17}{8}$。

11. 一元一次方程$x+\frac{x}{1+2}+\frac{x}{1+2+3}+\cdots+\frac{x}{1+2+\cdots+2025}=2025$的解是x=______.

答案： 1013
因为$1 + 2+\cdots + n=\frac{n(n + 1)}{2}$，所以$\frac{x}{1 + 2+\cdots + n}=\frac{2x}{n(n + 1)}=2x(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$，
原方程可化为$x + 2x(1-\frac{1}{2})+2x(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+2x(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})=2025$，
$x + 2x(1-\frac{1}{2026})=2025$，$x + 2x×\frac{2025}{2026}=2025$，$x(1 + \frac{2025}{1013})=2025$，解得$x=1013$。

二、解答题
12. 当x=1时，代数式ax³+bx+1的值是2，求方程$\frac{ax+1}{2}+\frac{2bx-3}{4}=\frac{x}{4}$的解.

答案： x=-$\frac{1}{2}$
把$x = 1$代入$ax^{3}+bx + 1=2$，得$a + b + 1=2$，$a + b=1$，
方程$\frac{ax + 1}{2}+\frac{2bx-3}{4}=\frac{x}{4}$，
去分母得$2(ax + 1)+2bx-3=x$，$2ax + 2 + 2bx-3=x$，$(2a + 2b)x-1=x$，
因为$a + b=1$，所以$2(a + b)=2$，方程变为$2x-1=x$，$x=1$。

13.定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程$2x = 6$和$x - 3 = 0$为“美好方程”.
(1)若关于$x$的方程$x - 4m + 1 = 0$与方程$\frac{1}{2}(x - 5)-m = 0$是“美好方程”，求$m$的值；
(2)若无论$k$取任何有理数，关于$x$的方程$\frac{2x + ka}{3}=\frac{b}{2}+k(a,b$为常数)与方程$2x + 1 = x - 2$为“美好方程”，求$ab$的值.

答案：
(1)$m=1$
方程$x - 4m + 1 = 0$的解$x = 4m - 1$
方程$\frac{1}{2}(x - 5)-m = 0$的解$x = 2m + 5$
$4m - 1=2m + 5$
$2m=6$
$m = 3$
(2)$ab=-9$
方程$2x + 1 = x - 2$的解$x=-3$
$\frac{2(-3)+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$
$\frac{ka - 6}{3}-k=\frac{b}{2}$
$k(\frac{a}{3}-1)-2=\frac{b}{2}$
$\frac{a}{3}-1 = 0$，$-2=\frac{b}{2}$
$a = 3$，$b=-4$
$ab=-12$