《2025年学典四川七年级数学上册北师大版》

1. 观察下列算式：$2^{1}=2$，$2^{2}=4$，$2^{3}=8$，$2^{4}=16$，$2^{5}=32$，$2^{6}=64$，$2^{7}=128$，……根据算式中的规律推测$2^{2025}$的个位数字为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

答案： A
解析：个位数字周期为4，$2025÷4 = 506\cdots\cdots1$，故个位数字是2。

2. 数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形。如图，当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）。当五边形内有$n$个点时，可分得三角形的个数为______。

答案： 2n + 3
解析：每增加1个点多2个三角形，故$5 + 2(n - 1) = 2n + 3$。

3. 人行道常用同样大小的灰、白两种小正方形地砖铺设而成。如图所示的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图1、图2、图3、……的次序铺设地砖，把第$n$个图形用图$n$表示，回答下列问题：
（1）完成表格：
|图形序号|图1|图2|图3|图4|...|
|----|----|----|----|----|----|
|白色小正方形地砖的块数|12|19|______|______|...|
（2）若设第$n$个图形中白色小正方形地砖的块数为$s$，直接写出$s$与$n$之间的数量关系。

答案： （1）26，33；（2）$s = 7n + 5$
解析：（1）图1：12，图2：19（+7），图3：26（+7），图4：33（+7）。
（2）$s = 12 + 7(n - 1) = 7n + 5$。

4. 观察下列等式：
第1个等式：$\frac {1}{1}+\frac {2}{3}-\frac {1}{3}=\frac {4}{3}$；
第2个等式：$\frac {1}{2}+\frac {3}{4}-\frac {1}{8}=\frac {9}{8}$；
第3个等式：$\frac {1}{3}+\frac {4}{5}-\frac {1}{15}=\frac {16}{15}$；
第4个等式：$\frac {1}{4}+\frac {5}{6}-\frac {1}{24}=\frac {25}{24}$；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：______；
（2）写出你猜想的第$n$个等式。

答案： （1）$\frac{1}{5} + \frac{6}{7} - \frac{1}{35} = \frac{36}{35}$；（2）$\frac{1}{n} + \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{1}{n(n + 2)} = \frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)}$
解析：（1）分子分母规律：第5个等式为$\frac{1}{5} + \frac{6}{7} - \frac{1}{5×7} = \frac{6^2}{5×7} = \frac{36}{35}$。
（2）第$n$个等式：$\frac{1}{n} + \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{1}{n(n + 2)} = \frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)}$。

5. 观察下列等式：
第1个等式：$\frac {2}{3}-\frac {1}{1×2×3}=\frac {1}{2}$；
第2个等式：$\frac {3}{8}-\frac {1}{2×3×4}=\frac {1}{3}$；
第3个等式：$\frac {4}{15}-\frac {1}{3×4×5}=\frac {1}{4}$；
第4个等式：$\frac {5}{24}-\frac {1}{4×5×6}=\frac {1}{5}$；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：______；
（2）写出你猜想的第$n$（$n$取正整数）个等式，并选取一个$n$值验证等式的正确性。

答案： （1）$\frac{8}{63} - \frac{1}{7×8×9} = \frac{1}{8}$；（2）$\frac{n + 1}{(n + 1)^2 - 1} - \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{n + 1}$
解析：（1）第7个等式：$\frac{7 + 1}{8^2 - 1} - \frac{1}{7×8×9} = \frac{8}{63} - \frac{1}{504} = \frac{64 - 1}{504} = \frac{63}{504} = \frac{1}{8}$。
（2）第$n$个等式：$\frac{n + 1}{n(n + 2)} - \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{(n + 1)^2 - 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{n^2 + 2n}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{n + 1}$。